Bài 7. Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa \(6\) quả trắng, \(4\) quả đen. Hộp thứ hai chứa \(4\) quả trắng, \(6\) quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:
\(A\) là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng";
\(B\) là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng".
a) Xét xem \(A\) và \(B\) có độc lập không.
b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
Bài giải:
Phép thử \(T\) được xét là: "Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu".
Mỗi một kết quả có thể có của phép thử \(T\) gồm hai thành phần là: \(1\) quả cầu của hộp thứ nhất và \(1\) quả cầu của hộp thứ \(2\).
Có \(10\) cách để lấy ra \(1\) quả cầu ở hộp thứ nhất và có \(10\) cách để lấy \(1\) quả cầu ở hộp thứ \(2\). Từ đó, vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các cách để lập được một kết quả có thể có của hai phép thử \(T\) là \(10 . 10 = 100\). Suy ra số các kết quả có thể có của phép thử \(T\) là \(n(Ω) = 100\).
Vì lấy ngẫu nhiên nên các kết quả có thể có của phép thử \(T\) là đồng khả năng.
Xét biến cố \(A\): "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu trắng".
Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho \(A\) gồm \(2\) thành phần là: \(1\) quả cầu trắng ở hộp thứ nhất và \(1\) quả cầu (nào đó) ở hộp thứ \(2\). Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho \(A\) là: \(n(A) = 6 . 10 = 60\).
Suy ra \(P(A) \)= \(\frac{60}{100}\) = \(0,6\).
Xét biến cố \(B\): "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng".
Tương tự như trên ta tìm được số các kết quả có thể thuận lợi cho \(B\) là:
\(n(B) = 10 . 4 = 40\).
Từ đó suy ra \(P(B)\) = \(\frac{40}{100}\) = \(0,4\).
a) Ta có \(A . B\) là biến cố: "Lấy được \(1\) cầu trắng ở hộp thứ nhất và \(1\) cầu trắng ở hộp thứ hai". Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho \(A . B\) là:
\(6 . 4 =24\). Suy ra:
\(P(A . B)\) = \(\frac{24}{100}\) = \(0,24 = 0,6 . 0,4 = P(A) . P(B)\).
Như vậy, ta có \(P(A . B) = P(A) . P(B)\). Suy ra \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau.
b) Gọi \(C\) là biến cố: "Lấy được hai quả cầu cùng màu". Ta có
\(C = A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\).
Trong đó \(\overline{A}\) = "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen" và \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(0,4\).
\(\overline{B}\): "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen" và P(\(\overline{B}\)) = \(0,6\).
Và ta có \(A . B\) và \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\) là hai biến cố xung khắc với nhau.
\(A\) và \(B\) độc lập với nhau, nên \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) cũng độc lập với nhau.
Qua trên suy ra;
\(P(C)\) = \(P\)(\(A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\)) = \(P(A . B)\) + \(P\)( \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\)) = \(P(A) . P(B)\) + \(P\)(\(\overline{A}\)) . \(P\)(\(\overline{B}\))
= \(0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48\).
c) Gọi \(D\) là biến cố: "Lấy được hai quả cầu khác màu". Ta có
\(D\) = \(\overline{C}\) \(=> P(D) = 1 - P(C) = 1 - 0,48 = 0,52\).