Bài 89. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB, E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(D\).
a)Chứng minh rằng điểm \(E\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(AB\).
b)Các tứ giác \(AEMC, AEBM\) là hình gì? Vì sao?
c)Cho \(BC = 4cm\), tính chu vi tứ giác \(AEBM\).
d)Tam giác vuông \(ABC\), có điều kiện gì thì \(AEBM\) là hình vuông?
Giải
 
a) Ta có \(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) ),
\(BD = DA\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) )
nên \(MD\) là đường trung bình của \(∆ABC\)
Do đó \(MD // AC\)
Do \(AC ⊥ AB\) nên \(MD ⊥ AB\)
Ta có \(AB\) là đường trung trực của \(ME\) (do \(AB ⊥ ME\) tại \(D\) và \(DE = DM\)) nên \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(AB\).
b)
+) Ta có: \(EM // AC\) (do \(MD // AC\))
\(EM = AC\) (cùng bằng \(2DM\))
Nên \(AEMC\)  (là hình bình hành)
+) Tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hình bình hành \(AEBM\) có \(AB ⊥ EM\) nên là hình thoi.
c)Ta có \(BC = 4 cm \Rightarrow BM = 2 cm\).
Chu vi hình thoi \(AEBM\) bằng \(4.BM = 4. 2 = 8(cm)\)
d)Cách 1 :
Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔ AB = EM ⇔ AB = AC\)
Vậy nếu \(ABC\) vuông có thêm điều kiện \(AB = AC\) (tức là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\)) thì \(AEBM\) là hình vuông.
Cách 2 :
Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔AM ⊥ BM\)
\(⇔ABC\) có trung tuyến \(AM\) là đường cao
\(⇔∆ABC\) cân tại \(A\).
Vậy nếu \(∆ABC\) vuông có thêm điều kiện cân tại \(A\) thì \(AEBM\) là hình vuông.