Bài 9. Cho tam giác \(ABC\). Lấy điểm \(S\) nằm ngoài mặt phẳng \((ABC)\). Trên đoạn \(SA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{MS}\) = \(-2\overrightarrow{MA}\) và trên đoạn \(BC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}.\) Chứng minh rằng ba véctơ  \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.
Giải
(H.3.8)

\(\overrightarrow{MN}\) = \(\overrightarrow{MS}\) + \(\overrightarrow{SC}\) + \(\overrightarrow{CN}\)
          = \(\frac{2}{3}\overrightarrow{AS}\) + \(\overrightarrow{SC}\) + \(\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}.\) (1)
\(\overrightarrow{MN}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{BN}\)
          = \(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}\) + \(\overrightarrow{AB}\) + \(-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}.\) (2)
Nhân (2) với 2 rồi cộng với (1) ta được:
\(3\overrightarrow{MN}\) = \(\overrightarrow{SC}\) + \(2\overrightarrow{AB}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\)
Vậy \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.