Bài 15. Hãy cho biết dãy số \((u_n)\) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó là:
A. \({( - 1)^{n + 1}}.\sin {\pi  \over n}\)              B. \({( - 1)^{2n}}({5^n} + 1)\)
C. \({1 \over {\sqrt {n + 1}  + n}}\)                          D. \({n \over {{n^2} + 1}}\)
Trả lời:
Xét từng phương án ta có:
_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử \({\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\) nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, \(u_n\) không thể là dãy số tăng.
_ Phương án C:
\(\eqalign{
& {u_3} = {1 \over {\sqrt {3 + 1} + 1}} = {1 \over 3} \cr
& {u_8} = {1 \over {\sqrt {8 + 1} + 1}} = {1 \over 4} \cr} \)
\(⇒ u_8 < u_3  ⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại đáp án C
_ Phương án D: \({u_1} = {1 \over 2},{u_2} = {2 \over 5}\)
\(⇒ u_2< u_1⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại phương án D
Vậy chọn phương án B
Thật vậy:
\({u_n} = {\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^{2n}}.({5^n} + {\rm{ }}1){\rm{ }} = {\rm{ }}{5^n} + 1\) (vì \(2n\) chẵn nên \({\left( { - 1} \right)^{2n}} = {\rm{ }}1\))                                                                
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} =({5^{n + 1}} + 1)-({5^n} +1) = {5^{n + 1}}-{5^n}\)
\(= 5^n. (5 – 1) = 4. 5^n> 0, ∀ n ∈ {\mathbb N}^*\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng
Vậy chọn B