Bài 7. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số \((u_n)\), biết:
a) \({u_n} = n + {1 \over n}\)
b) \({u_n} = {( - 1)^n}\sin {1 \over n}\)
c) \({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \)
Trả lời:
Xét hiệu:
\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = (n + 1 + {1 \over {n + 1}}) - (n + {1 \over n}) = 1 + {1 \over {n + 1}} - {1 \over n} \cr
& = {{{n^2} + n - 1} \over {n(n + 1)}} > 0,\forall n \in {N^*} \cr} \)
 Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng                                     (1)
Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}\)
Nên \(u_n\) là dãy số bị chặn dưới                             (2)
Ta thấy khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên                                                (3)
Từ (1), (2), (3) ta có \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.
b) Ta có:
 \(u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0\)
\(\eqalign{
& {u_2} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr
& {u_3} = {( - 1)^2}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr} \)
\(⇒ u_1> u_2\) và \(u_2< u_3\)
Vậy \(u_n\) là dãy số tăng không đơn điệu.
Ta lại có:
\(\eqalign{
& |{u_n}| = |{( - 1)^{n - 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr
& \Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1 \cr} \)
Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn và không đơn điệu.
c) Ta có:
\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)
Xét hiệu:
\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \) 
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
\sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr
\sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)
 \( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)
⇒ u_n là dãy số giảm                                            (1)
Mặt khác:
\({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*\)
Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới                         (2)
Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)
Nên \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên                            (3)
Từ (1), (2) và (3)  ta có: \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn