Bài 4. Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tính các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Trả lời:
Ta có \((a_n)\) là cấp số nhân và \((b_n)\) là cấp số nhân tương ứng.
Ta có:
\({a_n} = {\rm{ }}{a_1}.{\rm{ }}{q_1}^{n - 1},{\rm{ }}{q_1}\) là hằng số
\({b_n} = {\rm{ }}{b_1}.{\rm{ }}{q_1}^{n - 1},{\rm{ }}{q_2}\) là hằng số
Khi đó: \({a_n}.{b_n} = {\rm{ }} = {\rm{ }}{a_1}.{\rm{ }}{q_1}^{n - 1}.{\rm{ }}{b_1}.{\rm{ }}{q_1}^{n - 1} = {\rm{ }}({a_1}{b_1}){({q_1}{q_2})^{n - 1}}\)
Vậy dãy số \(a_nb_n\) là một cấp số nhân có công bội : \(q = q_1q_2\)
Ví dụ:
\(1, 2, 4, ...\) là cấp số nhân có công bội \(q_1= 2\)
\(3, 9, 27, ...\) là cấp số nhân có công bội \(q_2= 3\)
Suy ra: \(3, 18, 108...\) là cấp số nhân có công bội: \(q = q_1q_2= 2.3 = 6\).