1. Chứng minh rằng có thể tìm được 1 số có dạng 197819781978....1978000...0 chia hết cho 2012
2. Cho dãy m số tự nhiên bất kì a1, a2 ,a3,.................âm.Chứng minh rằng tồn tại 1 số hạng chia hết cho m hoặc tổng của 1 số số hạng trong dãy chia hết cho m
3. Cho 4 số tự nhiên phân biệt a>b>c>d . Chứng minh rằng P=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12
4. Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiên liên tiếp bất kì ta luôn tìm được 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 10
5. Cho 10 đội bóng thi đấu vòng tròn 1 lượt mỗi đội phải đấu đúng 1 trận với mỗi đội khác .Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có 2 đội đấu số trận như nhau.