Áp dụng BĐT côsi ta có: 
a² + bc ≥ 2.a√(bc) 
<=> 1/(a² + bc) ≤ 1/(2a√(bc)) -------------(1) 
tương tự vậy: 
1/(b² + ac) ≤ 1/(2b√(ac)) -------------------(2) 
1/(c² + ab) ≤ 1/(2c√(ab)) -------------------(3) 
lấy (1) + (2) + (3) 
=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ 1/(2a√(bc)) + 1/(2b√(ac)) + 1/(2c√(ab)) 
<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ √(bc)/2abc + √(ac)/2abc + √(ab)/2abc 
<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ [√(bc) + √(ac) + √(ab) ]/2abc (!) 
Ta chứng minh bổ đề: 
√(ab) + √(bc) + √(ac) ≤ a + b + c 
thật vậy, áp dụng BĐT côsi ta được: 
a + b ≥ 2√(ab) --- (*) 
a + c ≥ 2√(ac) --- (**) 
b + c ≥ 2√(bc) --- (***) 
lấy (*) + (**) + (***) => 2(a + b + c) ≥ 2.[ √(bc) + √(ac) + √(ab) ] 
<=> √(bc) + √(ac) + √(ab) ≤ a + b + c (@) 
từ (!) và (@) 
=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ (a + b + c)/2abc ( Đpcm )
Chúc bạn học tốt :)