Bài 8:
+)Ta đi chứng minh công thức: Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh với sin góc tạo bởi hai cạnh ấy.
Chứng minh:
Xét tam giác ABC có đường cao AH.
Ta có S = 1/2 . AH . BC
Dễ nhận thấy rằng AH = AB.sin B (cgv = cạnh huyền x sin góc đối)
Suy ra : S = 1/2. AB . sinB . BC = 1/2.ac.sinB
Tương tự : Kẻ các đường cao từ đỉnh B,C thì ta cũng cm được các công thức còn lại
+)Theo bài 14 ta có: cot A + cot B + cot C = (a^2 + b^2 + c^2)/4S (*)
Theo định lý sin ta có: b/ sin B= 2R
=> sin B= b/2R
Thay vào công thức S=1/2.ac.sin B ta được:
S=1/2.a.b.c/2R= abc/4R
Thay S=abc/4R vào (*) ta được:
cot A + cot B + cot C = R(a^2 + b^2 + c^2)/abc (đpcm)

Bài 9:
Theo định lý sin ta có:
a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R
=> sin A=a/2R; sin B=b/2R; sin C= c/2R
=> sin^2 B+ sin^2 C= 2sin^2A
<=> b^2/4R^2 + c^2/4R^2= 2a^2/4R^2
<=> (b^2+c^2)/4R^2=2a^2/4R^2
=> b^2+c^2=2a^2
<=> a^2=(b^2+c^2)/2
Mặt khác theo định lí cosin:
cosA = (b² + c² - a²)/(2bc) = [(b² + c²) - (b² + c²)/2]/(2bc = (b² + c²)/(4bc)
mà: b² + c² ≥ 2bc (BĐT AM-GM)
=> cosA = (b² + c²)/(4bc) ≥ 2bc/(4bc) = 1/2
=> góc A ≤ 60º (vì hàm cos nghịch biến trên (0;180º) )
Hay góc BAC ≤ 60º (đpcm)
 

Bài 10:
Theo đề bài ta có:
cotA + cotC = 2cotB
<=> cosA/sinA + cosC/sinC=2.cosB/sinB
<=> sin(A+C)/sinA.sinC = 2cosB/sinB
<=> (sinB)^2 = 2sinA.sinC.cosB (1)
mà 2sinA.sinC = -[cos(A+C) - cos(A-C)]; cosB = - cos(A+C)
nen từ (1*) => (sinB)^2 = [cos(A+C)]^2 - cos(A-C).cos(A+C)
<=> (sinB)^2 = (cosB)^2 - 1/2 [cos2A - cos2C]
<=> (sinB)^2 = 1- (sinB)^2 - 1/2 [1 -2(sinA)^2 + 1 - 2(sinC)^2]
<=> 2(sinB)^2 = (sinA)^2 + (sinC)^2 (2)
Mặt khác từ định lý sin suy ra sin A=a/2R; sin B=b/2R; sin C= c/2R nên
(2) <=> 2b^2/4R^2 = a^2/4R^2 + c^2/4R^2
<=>2b^2 =a^2 + c^2
=> a^2,b^2,c^2 cũng tạo thành một cấp số cộng (đpcm)

Bài 11:
Gọi AD là phân giác của góc A
=> góc BAD= góc ABC
=> tam giác BAD cân tại D
=> AD=BD
Xét tam giác CAD và tam giác CBA có:
góc ACB chung
góc CAD = góc CBA (=1/2 góc A)
=> tam giác CAD ~ tam giác CBA (g-g)
=> CA/CB=AD/BA=CD/CA
<=> b/a=AD/c=CD/b
=> b^2=a.CD và bc=a.AD=a.BD
=> b^2+bc= a.CD+a.BD=a.(CD+BD)=a.BC=a^2 (đpcm)