a) Góc MNA = ACM = 90 độ nên MNAC nội tiếp
b) * Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có CH là đường cao:
AC² = AH.AB hay AC² = 1.6 = 6
Áp dụng Pytago trong tam giác vuông AHC:
CH² = AC² – AH² = 6 – 1 = 5
Vậy CH = căn 5
* Ta có góc ABC = ACH (Cùng phụ góc HCB)
=> tag ABC = AH/CH = 1/√ 5
c) Kéo dài MN cắt BD ở K dễ có A là trưc tâm tam giác BMK nên K,A,C thẳng hàng
=> góc NBK = KMD(CÙng phụ MKD)
Mà góc NCA= KMD (Cùng chắn cung NA của (MNAC))
=> Góc NBK = NCA
Cũng do CD vuông góc với AH nên AB là trung trực CD (T/c đường kính và dây)
Nên AC = AD hay góc NBK = NBC (CÙng chắn hai cung bằng nhau)
=> Góc NBC = NCA
Lại có NBC + BAC = 90 độ (Phụ nhau)
Và góc OCA = BAC (Tam giác AOC cân tại O)
=> Góc NCA + ACO = 90 độ nên NC là tiếp tuyến(O)
d) Gọi G là giao điểm của tiếp tuyến tại A với BC.
Vì EC = EA (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) nên tam giác AEC cân tại E.
Dễ chứng minh được tam giác ACG cân tại E nên E là trung điểm của AG hay EA = EG.
Do AG//HC (Cùng vuông góc với AB), gọi I là giao điểm CH và BE .Theo Ta let ta có:
IC/EG = BI/BE
HI/AE = BI/BE
=> IC/EG = HI/AE nhưng AE = EG nên IC = HI hay I là trung điểm CH (Đpcm)