Để hàm số \( y = x + 2018 + \frac{2019}{\sqrt{5 + mx - x^2}} \) xác định trên đoạn \([1; 3]\), điều kiện cần thiết là mẫu số \(\sqrt{5 + mx - x^2}\) phải dương trên đoạn này. Điều này tương đương với yêu cầu rằng \(5 + mx - x^2 > 0\) với mọi \(x \in [1, 3]\).

Ta xét biểu thức \(5 + mx - x^2\):
\[
f(x) = -x^2 + mx + 5
\]

1. **Tìm các giá trị của \(f(x)\) tại các đầu đoạn:**

- Tại \(x = 1\):
\[
f(1) = -(1)^2 + m(1) + 5 = -1 + m + 5 = m + 4
\]

- Tại \(x = 3\):
\[
f(3) = -(3)^2 + m(3) + 5 = -9 + 3m + 5 = 3m - 4
\]

2. **Tìm giá trị max và min của hàm bậc 2 trên đoạn này:**

Hàm bậc 2 \(f(x) = -x^2 + mx + 5\) có dạng parabol mở xuống. Để xác định max và min trên \([1, 3]\), chúng ta sẽ tính giá trị tại các đầu đoạn và có thể cần tìm max tại điểm cực trị của hàm.

- Tính đạo hàm:
\[
f'(x) = -2x + m
\]
Đặt \[f'(x) = 0\] để tìm điểm cực trị:
\[
-2x + m = 0 \implies x = \frac{m}{2}
\]

Ta cần kiểm tra xem \(\frac{m}{2}\) có nằm trong khoảng \([1, 3]\) hay không.
- Nếu \(m < 2\), thì \(\frac{m}{2} < 1\).
- Nếu \(m > 6\), thì \(\frac{m}{2} > 3\).
- Với \(2 \leq m \leq 6\), thì \(\frac{m}{2} \in [1, 3]\).

3. **Điều kiện để \(f(x) > 0\):**

Ta có các trường hợp sau:
- Với \(m + 4 > 0 \Rightarrow m > -4\)
- Với \(3m - 4 > 0 \Rightarrow 3m > 4 \Rightarrow m > \frac{4}{3}\)

Kết hợp lại:
- Khi \(m < 2\): chỉ cần \(m > -4\).
- Khi \(m = 2\): \(f(1) = 6 > 0\), \(f(3) = 2 > 0\).
- Khi \(m = 6\): \(f(1) = 10 > 0\), \(f(3) = 14 > 0\).

Vậy với \(2 \leq m \leq 6\), \(f(x)\) với mọi \(x \in [1, 3]\) đều dương.

4. **Kết luận:**

Để hàm số \(y\) xác định trên đoạn \([1; 3]\), ta có điều kiện:
\[
m \in (4/3, 6]
\]
Tuy nhiên, do hàm xác định trên đoạn \(x\) có thể cụ thể là 2 đến 6 để đảm bảo \(f(x) > 0\), ta chọn \(m\) trong khoảng này.

**Do đó, giá trị \(m\) cần tìm là** \(m \in (4/3, 6]\).