a/xét tứ giác AKBE có: góc K = 90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa (O)) 
góc E = 90 độ(gt) =>K+E=180 độ 
=> AKBE là tứ giác nt đ/tròn đk AB 
=> góc BEK = góc KAB( cùng nhìn đoạn KB) 
mà góc AEK = góc BEK(gt) 
=> góc KAB = góc AEK 
xét t/giác KAF và t/giác KEA có 
góc KAB = góc AEK(cmt) 
góc AKF: chung 
=> KAF đồng dạng KEA(g.g) 

b/ OI=OE-IE nên (I) tiếp xúc trong (O) tại E. 
Dễ chứng minh K là điểm chính giữa cung AB nên OK vuông góc AB 
Lại có:góc FKO=góc FEO= góc EFI=> IF//OK=>IF vuông góc AB 
Suy ra, (I) tiếp xúc AB tại F. 

c/Dễ chứng minh M,I,N thẳng hàng. 
Mà góc INE=góc IEN= góc OBE=>MN//AB