Xét tam giác vuông ABD có :
BD^2=AD^2+AB^2(áp dụng định lí Py-ta-go)
=> BD^2= 15^2+20^2
=>BD^2=625
=>BD=25(cm)
Vì tam giác AHB đồng dạng vs tam giác BCD nên:
AH/BC=AB/BD  => AH/15=20/25
=>AH=20.15/25=12(cm)

1. Xét tam giác AHB và tam giác BCD, có:
góc AHB = góc BCD = 90o
góc ABH = góc BDC (slt)
Vậy tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD. (g-g)
2. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABD vuông tại A, có:
BD2 = AB2 + AD2
BD = 25(cm)
Có: diện tích tam giác ABD = 1/2.AB.AD
diện tích tam giác ABD = 1/2.AH.BD
=> AB.AD = AH.BD
=> 20.15 = AH.25
=> AH = 12(cm)
3. 
a)  Vì AH // IM (cùng vuông góc với BD), theo định lý Thalet
=> BA/BI = BH/BM (1)
Xét tam giác IEB, có:
BM là đường cao (vì BM vuông góc với OE)
EA là đường cao (vì AE vuông góc với OB)
BM cắt EA tại D
=> IN là đường cao thứ 3 của tam giác OEB
Vì AK // IN (do cùng vuông góc với BE), theo định lý Thalet
=> BA/BI = BK/BE (2)
Từ (1) và (2) => BA/BỊ = BK/BÉ = BH/BM
theo định lý Thalet đảo 
=> HK // MN (3)
b) Có: AF // EN (do cùng vuông góc với IN), theo hệ quả của định lý Thalet
=> DF/DN = DA/DE
Có: AH // EM (do cùng vuông góc với BM), theo hệ quả của định lý Thalet
=> DA/DE = DH/DM
Xét tam giác DFH và tam giác DNM, có:
góc FDH = góc NDM (đđ)
DF/DN = DH/DM (cùng bằng DA/DE)
Vậy tam giác DFH đồng dạng tam giác DNM. (c-g-c)
=> góc DFH = góc DNM
mà 2 góc này ở vị trí slt
=> FH // MN (4)
Có: góc DHF + góc FHA = 90o
mà góc DHF = góc BHK (đđ)
=> góc FHA + góc BHK = 90o
Lại có: góc FHK = góc AHB + góc FHA + góc BHK = 90o + 90o = 180o (5)
Từ (3),(4), (5) => F, H, K thẳng hàng
(Nhớ +1 cho mình nha!)

Xét tam giác AHB và tam giác DAB có:
 góc B chung
góc A= góc H= 90 độ
=> tam giác AHB đồng dạng vs tam giác DAB(1)
Ta lại xét tam giác  ABD và tam giác  CDB có
góc A = góc C= 90 độ
BC=AD, DC=AB (vì là hình chữ nhật)
nên tam giác ABD= tam giác CDB(c.g.c)=> tam giác ABD đồng dạng vs tam giác CDB(2)
Từ 1 và 2 => tam giác AHB đồng dạng vs tam giác BCD