P = (a^2 + 1)/(a - 1)
ở đây ta sẽ sử dụng pp tam thức bậc 2 để tìm GTNN (nó có trong một số tài liệu nâng cao về bdt)
viết lại biểu thức, ta được
a^2 + 1 = P(a - 1)
suy ra a^2 - P.a + P + 1 = 0
vì pt luôn có nghiệm (nếu ko có nghiệm thì sẽ ko có min, max, ở đây là giả sử)
suy ra delta >= 0
suy ra P^2 - 4(P +1) >= 0
suy ra P^2 - 4P - 4 >= 0
suy ra (P - 2)^2 >= 8
suy ra P - 2 >= 2√(2) hoặc P - 2 <= - 2√(2)
vì ở đây ta chỉ xét GTNN
suy ra Pmin = 2 + 2√(2)
dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a^2 - (2 + 2√(2)).a + 2√(2) + 3 = 0
suy ra a = 1 + √(2)