Xét ΔABD và ΔACD,ta có:
AD chung (gt)
^BAD = ^CAD (gt)
AB = AC (gt)
=> ΔABD = ΔACD (c.g.c)

b,
có AK vuông góc với BE (GT)
BE vuông góc với BC (GT)
=>AK // BC (cùng vuông góc với BE)
Xét tam giác ADB và tam giác AKB có:
AB cạnh chung
góc AKB = góc ADB = 90°
góc KBA = góc BAD ( c/m trên)
=> tam giác ADB = tam giác AKB (cạnh huyền - góc nhọn)
=》 góc BAD = góc ABE (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này là 2 góc so le trong của AD và BE với đường thẳng cắt AB
=》 AD// BE (Dấu hiệu nhận biết 2 đg thẳng //)
=> góc AEB = góc DAC (đồng vị vs đg thẳng cắt EC) (1)
góc BAD = góc CAD (cm trên) (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc AEB = góc ABE.
( có thể dùng cách cùng phụ với 2 góc bằng nhau)

C,
có AK vuông góc với BE (GT)
BC vuông góc vs BE (GT)
=> AK//BC (cùng vuông góc vs BE)
=》 góc ABD = góc KAB ( so le trong với đg thẳng cắt AB)
Có tam giác AKB = tam giác ADB (c/m câu b)
=> AK = BD (2 cạnh tương ứng) (1)
có tam giác ADB = tam giác ADC (c/m câu a)
=> BD = DC (2 cạnh tương ứng)
có D nằm giữa B và C (suy từ GT)
=> BD + DC = BC
=》 BD = 1/2 BC ( 2 )
Từ (1), (2) suy ra AK = 1/2 BC.