a)  xét Δ EHB và Δ DHC có : ^HEB=^HDC (=90°)                 suy ra Δ EHB ∽  Δ DHC  suy ra 
                                                                                                      
                                           ^EHB=^DHC( 2 góc đối đỉnh)                 HE/HD=HB/HC suy ra                                                                                                                                      HD.HB=HE.HC
b)  vì HD.HB=HE.HC(cmt) suy ra HE/HB=HD/HC      suy ra   ΔHDE∽ Δ HCB
                                                 ^EHD=^BHC
c) kẻ đường cao AK 
 xét Δ KHB và Δ DCB có:  ^B chung          suy ra  Δ KHB ∽  Δ DCB  suyra BH.BD=BC.Bk 
                                         ^BKH=^BDC(=90°)                                                           (1)             
xét Δ CKH và Δ CEB có:  ^C chung                 suy ra Δ CKH ∽ Δ CEB suy ra CH.CE=BC.CK
                                        ^CKH=^CEB(=90°)                                                              (2)
từ(1)và(2) suy ra BH.BD+CH.CE=BC.Bk+BC.CK=BC.(BK+CK)=BC.BC=BC^2

b/ Ta có: DH/HE = CH/BH
=> HE/HB = HD/HC
Xét tam giác HDE và tam giác HCB có:
                  góc EHD = góc BHC ( đối đỉnh)
                  HE/HB = HD/HC
=> tam giác HDE đồng dạng với tam giác HCB
 

c/ Kẻ HK vuông góc với BC
* Xét tam giác BKH và tam giác BDC có:
                          góc B chung
                          góc BKH = góc BDC = 90 độ
=> tam giác BKH đồng dạng với tam giác BDC
=> BK/BD = KH/DC = BH/BC
=> BK/BD = BH/BC
=> BH.BD = BK.BC                    (1)
* Xét tam giác CKH và tam giác CEB có:
                         góc C chung
                         góc CKH = góc CEB = 90 độ
=> tam giác CKH  đồng dạng với tam giác CEB
=> CK/CE = KH/EB = CH/CB
=> CH/CB = CK/CE
=> CH.CE = CK.CB                     (2)
Từ (1) và (2) => BH.BD + CH.CE = BC^2