a) Ta có:
Δ OBC vuông cân tại O
=> góc OBC = góc OCB = 45*
OB = OC và OA = OD
=> Δ OAD vuông cân tại O
=> góc OAD = ODA = 45*
OA = OD
=> góc OAD = OCB = 45 ( SLT )
=> AD//BC
=> ABCD là hình thang
Mà AC = AO + OC
= OD + OB
= BD hay AC = BD
=> ABCD là hình thang cân (đpcm)

1 b) *xét tam giác ABD có: M là trung điểm AD; N là trung điểm AB => MN là đường trung bình của tam giác ABD => MN//BD (1) và MN=(1/2)BD (1'); *tương tự với các tam giác: ABC; BCD; CDA ta được: NP//AC (2) và NP=(1/2)AC (2'); PQ//BD (3) và PQ=(1/2)BD (3'); QM//AC (4) và QM=(1/2)AC (4') *vì MN//BD mà AO vuông BD nên AO vuông MN, tương tự NP vuông BD mà AC vuông BD =>NP vuông MN *từ (1),(3): MN//PQ; từ (2),(4): NP//QM =>MNPQ là hình bình hành mà NP vuông MN =>MNPQ là hình chữ nhật *từ (1'),(3'): PQ=MN=BD/2; từ (2'),(4'): NP=QM=AC/2 mà BD=AC =>MN=NP=PQ=QM => MNPQ là hình vuông

Bài 1
Vì tam giác OBC  vuông cân tại O
=> góc OBC = góc OCB = 45 độ  (1)
Vì : OD = OD (gt) và góc O = 90 độ
=> Tam giác ODA vuông cân tại O
=> góc ODA = góc OAD = 45 độ  (2)
Từ 1 và 2 
=> góc OBC  = góc ODA Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> BC//AD
=> tứ giác BCAD là hình thang
Lại có: góc ODA = góc OAD
=> 2 góc ở đáy bằng nhau
=> hình thang BCAD là hình thang cân