Đầu tiên ta chứng minh định lý ptoleme.
Ông phát biểu rằng: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn thì:
AC.BD=AB.CD+BC.AD(AC,BD là 2 đường chéo)
Chứng minh:
Lấy K trên AC thỏa góc ABK=góc CBD
=>tam giác ABK đồng dạng tam giác DBC, tương tự tam giác ABD đồng dạng tam giác KBC
=>(AK+CK)BC=AB.CD+BC.DA
=>AC.BC=AB.CD+BC.DA(DPCM)
Quay lại bài toán:
Dựng tam giác ABC bất kì
Kẻ Ox song song với AB.
Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt Ox tại A'
Khi đó theo đề bài ta có sẽ có dạng tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Góc A+góc A'=180 độ(Do tứ giác ABA'C nội tiếp)
Điểm B' trùng C, điểm C' trùng B,góc B= góc B'
Áp dụng ptoleme ta có:
AB.A'B'+AC.A'C'=BC.B'C'(DPCM)