cho pt x^2 - 4mx +m^2 - 3 = 0
/\' = (-2m)^2 - (m^2 - 3)
    = 4m^2 - m^2 + 3
    = 3m^2 + 3m
để pt có hai nghiệm phân biệt thì 
3m^2 + 3m > 0
<=> -1 < m < 0
vậy m ∈ (-1 ; 0) thì pt có hai nghiệm phân biệt

x^2 - 4mx + 3m^2 - 3 = 0 (*)
(*) có 2 nghiệm <=> delta' >= 0
<=> (2m)^2 - (3m^2-3) >= 0
<=> m^2 + 3 >= 0, luôn đúng với mọi m ∈ R
=> (*) luôn có 2 nghiệm x1,x2 với mọi m ∈ R
Theo định lí Vi-ét ta có
    x1 + x2 = 4m và x1.x2 = 3m^2-3
=> (x1-x2)^2 = (x1+x2)^2 - 4x1x2 = (4m)^2 - 4(3m^2 - 3) = 4m^2 + 12
=> | x1-x2 | =√(4m^2+12) = 2√m^2+3
và 2√m^2+3 >= 2√3, với mọi m ∈ R
=> | x1-x2 | >= 2√3
=> P <= 2018/2√3 = 1009/√3
Dấu "=" xảy ra <=> m = 0 
Vậy maxP = 1009/√3 <=> m=0

cho pt x^2 - 4mx +m^2 - 3 = 0
/\' = (-2m)^2 - (m^2 - 3)
    = 4m^2 - m^2 + 3
    = 3m^2 + 3
để pt có hai nghiệm phân biệt thì 
3m^2 + 3 > 0
<=> 3m^2 > -3 (với mọi m)
vậy pt luôn có hai nghiệm phan biệt với mọi m
 

5.
Do x, y, z > 0 nên ta có
    √x/(y+z) = x/√x(y+z)
Theo BĐT AM-GM, x + y +z >= 2√x(y+z)
=> √x(y+z) <= (x+y+z)/2
=> x/√x(y+z) >= 2x/(x+y+z) hay √x/(y+z) >= 2x/(x+y+z)
CMTT, √y/(z+x) >= 2y/(x+y+z) ; √z/(x+y) >= 2z/(x+y+z)
=> √x/(y+z) + √y/(z+x) + √z/(x+y) >= 2x/(x+y+z) + 2y/(x+y+z) + 2z/(x+y+z) = 2
Dấu "=" xảy ra <=> x=y+z và y=z+x và z=x+y <=> Không tồn tại x,y,z thỏa mãn
=> BĐT không xảy ra dấu "="
=> đpcm

theo bdt j vay