A = 1/ [a³(b+c)] +1/ [b³(a+c)] +1/ [ c³(a+b)]
Ta có 1 / [a³(b+c)] = b²c²/[a(b+c)] , do abc = 1 ==> 1/a² = b²c².
biến đổi tương tự cho các biểu thức còn lại và đặt ab = x, bc = y, ac = z
Suy ra A = x²/(y+z) + y²/(x+z) + z²/(x+y)
Đến đây ta có nhiều hướng làm:
c1, áp dụng buniacopski ta có A [ √(y+z)² + √(x+z)² + √(x+y)² ] ≥ (x+y+z)²
==> A ≥ 1/2*(x+y+z)²/(x+y+z) = 1/2( x+y+z) ≥ 3/2 √xyz = 3/2 √(abc)² = 3/2 abc =3/2 (DPCM)
c2, ta có m²+n² ≥ 2mn và với m, n > 0 thì 2 ≤ (m²+n²)/(mn) = m/n + n/m
áp dụng BDT trên ta có
x²/(y+z) + (y+z)/4 ≥ x
y²/(x+z) + (x+z)/4 ≥ y
z²/(x+y) + (x+y)/4 ≥ z
cộng hai vế ba bdt ta có A ≥ 1/2(x+y+z) ≥ 3/2