BÌNH GIỮ NHIỆT CAO CẤP TOPGIA INOX 304, Dung Tích Lớn 500ML Thiết Kế Nắp Thông Minh Tiện Lợi Có Dây Xách Ly Giữ Nhiệt - ĐẠT QUY CHUẨN CỦA BỘ CÔNG THƯƠNG(BGN)

Bộ 4 bàn chải đánh răng Nhật lông tơ mềm mại, Bàn trải đánh răng Than tre hoạt tính lông mềm, chải siêu êm bảo vệ nướu

80.000₫

Bài tập | Bài chưa trả lời

Phạm Nguyệt

Toán học - Lớp 10

31/01/2019 09:41:55

Chứng minh bất đẳng thức: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

[ Nhấp vào ảnh để phóng to, xoay ảnh ]

5 Xem trả lời

+ Trả lời

6.459

5 trả lời

Xếp hạng

[ Nhấp vào ảnh để phóng to, xoay ảnh ]

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
(a + b) ≥ 2√ab
(b + c) ≥ 2√bc
(c + a) ≥ 2√ca
Vì a,b,c > 0 nên nhân vế với vế 3 BĐT trên ta được:
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8√a^2b^2c^2 =8abc (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
a+b+c ≥ 3. căn bậc ba (abc)
a^2+b^2+c^2 ≥ 3. căn bậc ba (a^2b^2c^2)
Vì a,b,c > 0 nên nhân vế với vế 3 BĐT trên ta được:
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) ≥ 9abc (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

c) (1+a)(1+b)(1+c)
=(1+b+a+ab)(1+c)
=1+c+b+bc+a+ac+ab+abc
=abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
ab+bc+ca ≥ 3. căn bậc ba (ab.bc.ca) = 3. căn bậc ba (a^2b^2c^2)
a+b+c ≥ 3. căn bậc ba (abc)
Suy ra
abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1
≥ abc + 3. căn bậc ba (a^2b^2c^2) + 3. căn bậc ba (abc) +1
= (1+ căn bậc ba(abc) )^3 (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

d) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
bc/a + ca/b ≥ 2√ bc/a . ca/b =2√c^2=2c
Tương tự: ab/c+bc/a ≥ 2b
ca/b+ab/c ≥ 2a
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
2(ab/c+bc/a+ca/b) ≥ 2(a+b+c)
<=> ab/c+bc/a+ca/b) ≥ a+b+c (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

e) a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)
=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2
Áp dụng BĐT Am-Gm cho 6 số ta có:
a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2 ≥ 6. căn bậc 6(a^6b^6c^6)=6abc (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

f) Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
+) a+b≥ 2 căn ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
<=> (a+b)/4 >= ab/(a+b)
+) b+c ≥ 2 căn bc
<=>(b+c)^2 >= 4bc
<=> (b+c)/4 >= bc/(b+c)
+) c+a ≥ 2 căn ca
<=> (c+a)^2 >= 4ca
<=> (c+a)/4 >= ca/(c+a)
Cộng vế với vế 3 BDDT trên ta được:
ab\(a+b) + bc\(b+c) +ca\(c+a) ≤ (a+b+c)\2
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

g) a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
=a/(b+c)+1 + b/(c+a)+1 + c/(a+b)+1 -3
=(a+b+c)/(b+c)+(b+c+a)/(c+a)+(c+a+b)/(a+b)-3
=(a+b+c)(1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) -3
Áp dụng BĐT bổ đề 1/x+1/y+1/z≥ 9/x+y+z với x,y,z >0 ta được:
1/b+c + 1/c+a + 1/a+b
≥ 9/(b+c+c+a+a+b)
=9/2(a+b+c)
Suy ra
(a+b+c)(1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) -3
≥ (a+b+c).9/2(a+b+c)-3
=9/2-3=3/2
Hay a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≥ 3/2
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI

Câu hỏi mới nhất

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. a) Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm . Giải tam giác ABC (làm tròn số đo góc đến độ). b) Kẻ AH vuông góc với BC tại H ( H ∈ BC ). Chứng minh rằng CH.CB = CA^2 . c) Kẻ BI là tia phân giác của góc ABC ( I ∈ AC ), BI cắt AH tại K. Chứng minh rằng : tan góc BKH = (AB+BC):AC (Toán học - Lớp 9)

0 trả lời

Câu 12. Cho hai tập hợp \( A = [m + 1; 2m - 1], B = (0; 6). \) Có bao nhiêu giá trị \( m \) nguyên đề \( A \cap B \). Câu 13. Cho \( A \) là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0; \) \( B \) là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4. Xác định tập hợp \( A \cap B \). Câu 14. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi lớp 10 A có bao nhiêu học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa? (biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong ba môn Toán, Lý, Hóa). Câu 15. Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14 học sinh chơi cả bóng đá và bóng bàn, 6 học sinh không chơi môn nào. Tìm số học sinh chỉ chơi một môn thể thao? (Toán học - Lớp 10)

1 trả lời

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Kẻ phân giác của các góc AHB, AHC cắt cạnh AB và AC lần lượt ở D và E a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh DE//BC (Toán học - Lớp 8)

1 trả lời

HoA=(2m−7;m−5],B=[−3;1)Tìm các giá trị nguyên của mmm để A⊂B (Toán học - Lớp 10)

1 trả lời

ChoA=[m+1;2m−1],B=(0;6).Có bao nhiêu giá trị nguyên của mmm để A⊂B (Toán học - Lớp 10)

1 trả lời

Xem thêm

Câu hỏi liên quan

Câu chuyện về nàng tiên mùa Xuân kể về thiên nhiên, con người mỗi khi Tết đến xuân về? (Ngữ văn - Lớp 6)

7 trả lời

Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I (Toán học - Lớp 7)

1 trả lời

Trong bài thơ Vội vàng, Xuân Diệu đã cảm nhận về thời gian như thế nào? Điều đó có ý nghĩa mới mẻ so với cách cảm nhận thời gian của các nhà thơ trung đại? (Ngữ văn - Lớp 11)

2 trả lời

Viết một đoạn văn ngắn miêu tả một đêm trăng ở quê em trong đó có sử dụng phép so sánh (Ngữ văn - Lớp 6)

4 trả lời

Đưa một vật có trọng lượng 500N lên cao 2m bằng mặt phẳng nghiêng dài 4m. Tính lực kéo khi kéo vật trên mặt phẳng nghiêng? (Vật lý - Lớp 8)

1 trả lời

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui	Buồn	Bình thường

Bảng xếp hạng thành viên

07-2026 06-2026 Yêu thích

♚Quốc Anh.⋅˚₊‧ ‧₊˚ ⋅ ...

Combo 10 Đôi Vớ Tất Khử Mùi Kháng Khuẩn Cổ Ngắn Nam Nữ

-50%

39.000₫

78.000₫

Nước hoa ô tô khử mùi kháng khuẩn , Sáp thơm ô tô tinh dầu để xe hơi，Khử Mùi ...

-50%

15.000₫

30.000₫

Trang chủ	Giải đáp bài tập	Đố vui	Ca dao tục ngữ	Đề thi, kiểm tra	Tải ứng dụng Lazi
Giới thiệu	Hỏi đáp tổng hợp	Đuổi hình bắt chữ	Thi trắc nghiệm	Ý tưởng phát triển Lazi
Liên hệ	Trắc nghiệm tri thức	Điều ước và lời chúc	Kết bạn 4 phương	Xem lịch
Điều khoản sử dụng	Khảo sát ý kiến	Xem ảnh	Hội nhóm	Bảng xếp hạng
Chính sách bảo mật	Flashcard	Thơ văn danh ngôn	Mua ô tô	Bảng Huy hiệu
				Xem thêm

Chứng minh bất đẳng thức: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

Đăng nhập

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời