Câu 2:
Áp dụng bất đẳng thức x^2+y^2>=2xy
ta có:a^4+b^4>=2(ab)^2
c^4+b^4>=2(cd)^2
cộng hai vế lai ta có:
a^4+b^4+c^4+d^4>=2[(ab)^2+(cd)^2]
>=4abcd

1) xét hiệu (a^2 + 4b^2 + 4c^2) - (4ab - 4ac + 8bc)
= a^2 + 4b^2 + 4c^2 - 4ab + 4ac - 8bc
= (a^2 + 4ac + 4c^2) - 4b(a + 2c) + 4b^2
= (a + 2c)^2 - 4b(a + c) + 4b^2
= (a + 2c - 2b)^2
Vì (a + 2c - 2b)^2 ≥ 0
nên (a^2 + 4b^2 + 4c^2) - 4ab - 4ac + 8bc ≥ 0
<=> a^2 + 4b^2 + 4c^2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc
dấu "=" xảy ra <=> a + 2c = 2b
2) Ta có (a^2 - b^2)^2 + (c^2 - d^2)^2 ≥ 0
<=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 2a^2b^2 - 2c^2d^2 ≥ 0
<=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 2a^2b^2 + 2c^2d^2
mà 2a^2b^2 + 2c^2d^2 ≥ 4abcd (bđt cô si)
nên a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 4abcd
dâu "=" xảy ra <=> a = b = c = d

3) ta có 2(a^3b + b^3a) = 2ab(a^2 + b^2)
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ (a^2 + b^2)^2
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ 2(a^4 + b^4)
<=> a^3b + b^3a ≤ a^4 + b^4
Tượng tự b^3c + bc^3 ≤ b^4 + c^4
               c^3a + ca^3 ≤ c^4 + a^4
do đó a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4)
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4) + a^4 + b^4 + c^4
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> (a^3 + b^3 + c^3)(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
=> 3abc(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> abc(a + b + c) ≤ a^4 + b^4 + c^4 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c