Bài này suy ra từ biểu thức (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0 với a,b,c là 3 cạnh trong tam giác thôi bạn ạ ;) ; khai triển ra là thấy ngay biểu thức trên thôi
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0
<=> [b² -(a-c)²](c+a-b) > 0
<=> b² (a+c) -b^3 - (a-c)² (a+c) +b(a-c)² >0
<=> b² (a+c) +b(a-c)² - (a²-c²)(a-c) > b^3
<=> b² (a+c) +b(a-c)² + ac² + a² c > a^3 +b^3 +c^3
<=> b(a-c)² +a(b² + c²) +c(a²+b²) > a^3 +b^3 +c^3 => dpcm
*Cách này hơi thiếu tự nhiên , vì mình suy ra từ 1 cách dài hơn ; nhưng tự nhiên và dễ làm hơn ;) Cụ thể là thế này ;)
Biến đổi biểu thức ban đầu tương đương:
4abc > a[ a² - (b-c)²] +b[b² - (a-c)²] +c[c² - (a-b)²]
<=> 4abc > a(a+b-c)(a+c-b) + b(b+c-a)(b+a-c) + c(c+b-a)(c+a-b)
Đến đây thì đặt ẩn phụ kiểu quen thuộc rồi ;)
Đặt a+b-c = x ; b+c-a =y ; c+a-b =z (x,y,z > 0 ) Thì a= (x +z)/2 ; b= (x+y/2) ; c= (y+z)/2
Biểu thức trở thành:
(x+y)(y+z)(z+x) > (x+z)xz + (x+y)xy + (y+z)yz
Đơn giản rồi ; biểu thức này tương đương 2xyz > 0 (đúng với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;)
*Mở rộng thêm: Còn chứng minh được a^3 +b^3 +c^3 +3abc >= a²(b+c) +b²(a+c) +c²(b+a) > a^3 +b^3 +c^3 +2abc với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;)