2f
ta có (a + b + c + d)^2 ≤ (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + d)^2 + (d + a)^2 (hệ quả của bđt cô si)
<=> (a + b + c + d)^2 ≤ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2d^2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da
<=> (a + b + c + d)^2 ≤ 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
<=> (a + b + c + d)^4 ≤ 16(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2
<=> (a + b + c + d)^4 ≤ 16 . 4(a^4 + b^4 + c^4 + d^4)
<=> (a + b + c + d)^4 ≤ 64(a^4 + b^4 + c^4 + d^4)
<=> (a + b + c + d)^4/256 ≤ 64(a^4 + b^4 + c^4 + d^4)/256
<=> ((a + b + c + d)/4)^4 ≤ (a^4 + b^4 + c^4 + d^4)/4 (đpcm)

2c
ta có (1 + a^2)(1 + b^2) = 1 + a^2 + b^2 + (ab)^2
=> (1 + a^2)(1 + b^2) ≥ 1 + 2ab + (ab)^2 (vì a^2 + b^2 ≥ 2ab theo bđt cô si)
<=> (1 + a^2)(1 + b^2) ≥ (1 + ab)^2 (đpcm)
dấu"=" xảy ra <=> a = b
2e
ta có a^2/4 + b^2 + c^2 = a^2/4 + (b - c)^2 + 2bc
=> a^2/4 + b^2 + c^2 ≥ 2 . a/2 . (b - c) + 2bc (bđt cô si)
<=> a^2/4 + b^2 + c^2 ≥ a(b - c) + 2bc
<=> a^2/4 + b^2 + c^2 ≥ ab - ac + 2bc
Dấu "=" xảy ra <=> a = 2(b - c)

bài 3
a) Ta có a^2 + b^2 ≥ 2ab (bđt cô si)
<=> a^2 - ab + b^2 ≥ ab
<=> (a + b)(a^2 - ab + b^2) ≥ ab(a + b)
<=> a^3 + b^3 ≥ a^2b + ab^2 (đpcm)
Dấu"=" xảy ra <=> a = b
b) Ta có a^2 + b^2 ≥ 2ab (bđt cô si)
<=> a^2 - ab + b^2 ≥ ab
<=> (a + b)(a^2 - ab + b^2) ≥ ab(a + b)
<=> a^3 + b^3 ≥ ab(a + b)
<=> 4(a^3 + b^3) ≥ a^3 + b^3 + 3ab(a + b)
<=> 4(a^3 + b^3) ≥ (a + b)^3
<=> 4(a^3 + b^3)/8 ≥ (a + b)^3/8
<=> ((a + b)/2)^3 ≤ (a^3 + b^3)/2
Dấu "=" xảy ra <=> a = b

3c
ta có a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
<=> 2(a^3 + b^3) = (a + b)(2a^2 - 2ab + 2b^2)
<=> 2(a^3 + b^3) ≥ (a + b)(2a^2 + 2b^2 - a^2 - b^2) (bđt cô si)
<=> 2(a^3 + b^3) ≥ (a + b)(a^2 + b^2)
<=> (a + b)(a^2 + b^2)/4 ≤ 2(a^3 + b^3)/4
<=> (a + b)(a^2 + b^2)/4 ≤ (a^3 + b^3)/2 (đpcm)
dấu"="xảy ra <=> a = b

3d
ta có a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)
<=> 2(a^5 + b^5) = (a + b)[2a^4 + 2b^4 + 2a^2b^2 - 2ab(a^2 + b^2)]
<=> 2(a^5 + b^5) ≥ (a + b)[2a^4 + 2b^4 + 2a^2b^2 - (a^2 + b^2)^2] (bđt cô si)
<=> 2(a^5 + b^5) ≥ (a + b)(2a^4 + 2b^4 + 2a^2b^2 - a^4 - 2a^2b^2 - b^4)
<=> 2(a^5 + b^5) ≥ (a + b)(a^4 + b^4)
<=> 2(a^5 + b^5) ≥ 2a^2b^2(a + b) (bđt cô si)
<=> a^5 + b^5 ≥ a^2b^2(a + b)
<=> a^5 + b^5 ≥ a^3b^2 + a^2b^3
<=> 2(a^5 + b^5) ≥ a^5 + a^3b^2 + a^2b^3 + b^5
<=> (a^2 + b^2)(a^3 + b^3) ≤ 2(a^5 + b^5) (đpcm)
dấu"="xảy ra <=> a = b

3a)
ta có |3-a+b | + |b-a-2 |= |3-a+b |+ |a-b+2 |
=> |3-a+b | + |b-a-2 | ≥ |3-a+b+a-b+2 |
<=> |3-a+b | + |b-a-2 | ≥ 5
Dấu "=" xảy ra <=> (3-a+b)(a-b+2) ≥ 0
                        <=> b - 2 ≤ a ≤ b + 3

3b)
ta có |3-a+b| + |b| + |8 -a| = |-3+a-b| + |b| + |8 -a|
<=> |3-a+b| + |b| + |8 -a| ≥ |-3+a-b+b| + |8 -a|
<=> |3-a+b| + |b| + |8 -a| ≥ |-3+a-b+b+8-a|
<=> |3-a+b| + |b| + |8 -a| ≥ 5
Dấu "=" xảy ra <=> (-3+a-b)b ≥ 0 và (a-3)(8-a) ≥ 0
<=> 3 ≤ a ≤ 8 và a - 3 ≥ b

1e
ta có 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) = 8(x - 1)^2 + 1/(x - 1) + 1/(x - 1)
<=> 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) ≥ 3³√(8(x - 1)^2 . 1/(x - 1) . 1/(x - 1))
<=> 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) ≥ 3³√8
<=> 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) ≥ 6
Vậy GTNN của 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) <=> x = 1,5

1f
f(x) = 8x^2 - 16x + (x + 1)/(x - 1)
f(x) = (8x^2 - 16x + 8) + (x - 1 + 2)/(x - 1) - 8
f(x) = 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) + 1 - 8
f(x) = 8(x - 1)^2 + 1/(x - 1) + 1/(x - 1) - 7
f(x) ≥ 3³√(8(x - 1)^2 . 1/(x - 1) . 1/(x - 1)) - 7
f(x) ≥ 3³√8 - 7
f(x) ≥ 6 - 7
f(x) ≥ -1
Vậy GTNN của f(x) là -1 <=> x = 1,5

1e
ta có 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) = 8(x - 1)^2 + 1/(x - 1) + 1/(x - 1)
<=> 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) ≥ 3³√(8(x - 1)^2 . 1/(x - 1) . 1/(x - 1))
<=> 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) ≥ 3³√8
<=> 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) ≥ 6
Vậy GTNN của 8(x - 1)^2 + 2/(x - 1) là 6 <=> x = 1,5

1g)
f(x) = (4x^3 - 12x + 9x + 1)/(x - 1)
f(x) = 4x^2 - 8x + 1 + 2/(x - 1)
f(x) = (4x^2 - 8x + 4) + 2/(x - 1) - 3
f(x) = 4(x - 1)^2 + 2/(x - 1) - 3
f(x) = 4(x - 1)^2+ 1/(x - 1) + 1/(x - 1) - 3
f(x) ≥ 3³√(4(x - 1)^2 . 1/(x - 1) . 1/(x - 1)) - 3
f(x) ≥ 3³√4 - 3
vậy GTNN của f(x) là 3³√4 - 3 <=> x = 1 + 1/³√4

1h
f(x) = 4x^2 - 9x + (x^2 + 1)/(x - 1)
f(x) = 4x^2 - 9x + x + 1 + 2/(x - 1)
f(x) = 4x^2 - 8x + 1 + 2/(x - 1)
f(x) (4x^2 - 8x + 4) + 2/(x - 1) - 3
f(x) = 4(x - 1)^2+ 1/(x - 1) + 1/(x - 1) - 3
f(x) ≥ 3³√(4(x - 1)^2 . 1/(x - 1) . 1/(x - 1)) - 3
f(x) ≥ 3³√4 - 3
vậy GTNN của f(x) là 3³√4 - 3 <=> x = 1 + 1/³√4