606b
ta có a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)
<=> 2(a^3b + ab^3) = 2ab(a^2 + b^2)
<=> 2(a^3b + ab^3) ≤ (a^2 + b^2)^2 (bđt cô si)
<=> 2(a^3b + ab^3) ≤ a^4 + 2a^2b^2 + b^4
<=> 2(a^3b + ab^3) ≤ 2(a^4 + b^4) (bđt cô si)
<=> a^4 + b^4 ≥ a^3b + ab^3 (đpcm)
dấu"=" xảy ra <=> a = b

606c
a^4 + 3 = a^4 + 1 + 1 + 1
<=> a^4 + 3 ≥ 4 . a . 1 . 1 . 1 (bđt cô si)
<=> a^4 + 3 ≥ 4a (đpcm)
dấu"="xảy ra <=> a = 1
606d
a^3 + b^3 + c^3 ≥ 3 . a . b . c (bđt cô si)
<=> a^3 + b^3 + c^3 ≥ 3abc (đpcm)
dấu"="xảy ra <=> a = b = c

606e
ta có 2a^2b^2(a^4 + b^4) ≤ (a^4 + b^4)^2 (bđt cô si)
<=> 2a^2b^2(a^4 + b^4) ≤ a^8 + 2a^4b^4 + b^8
<=> 2a^2b^2(a^4 + b^4) ≤ 2(a^8 + b^8) (bđt cô si)
<=> a^2b^2(a^4 + b^4) ≤ (a^8 + b^8)
<=> a^4 + b^4 ≤ (a^8 + b^8)/(a^2b^2)
<=> a^4 + b^4 ≤ a^6/b^2 + b^6/a^2 (đpcm)
dấu"="xảy ra <=> a = b

606f
Xét hiệu 1/(1 + a^2) + 1/(1 + b^2) - 2/(1 + ab) (1)
= [1/(1 + a^2) - 1/(1 + ab)] + [1/(1 + b^2) - 1/(1 + ab)]
= (1 + a^2 - 1 - ab)/[(1 + a^2)(1 + ab)] + (1 + b^2 - 1 - ab)/[(1 + b^2)(1 + ab)]
= (a^2 - ab)/[(1 + a^2)(1 + ab)] + (b^2 - ab)/[(1 + b^2)(1 + ab)]
= (a^2 - ab)(1 + b^2) + (b^2 - ab)(1 + a^2)/[(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + ab)]
= (a - b)^2(ab - 1)/[(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + ab)]
Vì ab ≥ 1
nên (a - b)^2(ab - 1)/[(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + ab)] ≥ 0 (2)
ta có biểu thức (2) ≥ 0
=> biểu thức (1) ≥ 0
<=> 1/(1 + a^2) + 1/(1 + b^2) - 2/(1 + ab) ≥ 0
<=> 1/(1 + a^2) + 1/(1 + b^2) ≥ 2/(1 + ab) (đpcm)
dấu "=" xảy ra <=> a = b
 

606g
ta có a^2 + 3 = (a^2 + 2) + 1
<=> a^2 + 3 ≥ 2√(a^2 + 2).1 (bđt cô si)
<=> a^2 + 3 ≥ 2√(a^2 + 2)
<=> (a^2 + 3)/√(a^2 + 2) ≥ 2
Dấu"=" xảy ra <=> a^2 + 2 = 1
                     <=> a^2 = -1(vô lí)
Vì dấu"=" không xảy ra
nên (a^2 + 3)/√(a^2 + 2) > 2 (đpcm)
 

606h
Ta có (a^5 + b^5)(a + b) = a^6 + b^6 + ab(a^4 + b^4)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) = 2a^6 + 2b^6 + 2ab(a^4 + b^4)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) ≥ 2a^6 + 2b^6 + ab . (a^2 + b^2)^2 (bđt cô si)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) ≥ 2a^6 + 2b^6 + ab . 2ab(a^2 + b^2) (bđt cô si)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) ≥ 2a^6 + 2b^6 + 2a^2b^2(a^2 + b^2)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) ≥ 2a^6 + 2b^6 + 2a^4b^2 + 2a^2b^4
<=> (a^5 + b^5)(a + b) ≥ a^6 + b^6 + a^4b^2 + a^2b^4
<=> (a^5 + b^5)(a + b) ≥ (a^4 + b^4)(a^2 + b^2) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b

607a
Ta có
a^2 + 1 ≥ 2a
b^2 + 1 ≥ 2b
c^2 + 1 ≥ 2c
<=> (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≥ 2a . 2b . 2c
<=> (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≥ 8abc
dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1

607b
ta có
a^2 + 4 ≥ 4a
b^2 + 4 ≥ 4b
c^2 + 4 ≥ 4c
d^4 + 4 ≥ 4d
=> (a^2 + 4)(b^2 + 4)(c^2 + 4)(d^2 + 4) ≥ 4a . 4b . 4c . 4d
<=> (a^2 + 4)(b^2 + 4)(c^2 + 4)(d^2 + 4) ≥ 256abcd
dấu"=" xảy ra <=> a = b = c = d = 2

607c
Ta có a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 2a^2b^2 + 2c^2d^2
=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 2√(2a^2b^2 . 2c^2d^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 2√(4a^2b^2c^2d^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 4abcd (đpcm)
dấu"=" xảy ra <=> a = b = c = d

608
Cm : a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
Ta có (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ≥ 0
<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2bc + a^2) ≥ 0
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca (đpcm)

608
a) Ta có a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab + bc + ca)
<=> 2(a^2 + b^2 + c^2) + a^2 + b^2 + c^2 ≥ a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2 (đpcm)
c) Ta có a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) ≥ ab + bc + ca + 2(ab + bc + ca)
<=> (a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca) (đpcm)

608b
Ta có a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab + bc + ca)
<=> 2(a^2 + b^2 + c^2) + a^2 + b^2 + c^2 ≥ a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2)/9 ≥ (a + b + c)^2/9
<=> (a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ ((a + b + c)/3)^2 (đpcm)
dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
 

608d
Ta có 2(a^3b + b^3a) = 2ab(a^2 + b^2)
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ (a^2 + b^2)^2
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ 2(a^4 + b^4)
<=> a^3b + b^3a ≤ a^4 + b^4
Tượng tự b^3c + bc^3 ≤ b^4 + c^4
               c^3a + ca^3 ≤ c^4 + a^4
do đó a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4)
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4) + a^4 + b^4 + c^4
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> (a^3 + b^3 + c^3)(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
=> 3abc(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> abc(a + b + c) ≤ a^4 + b^4 + c^4 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

608f
Ta có 2(a^3b + b^3a) = 2ab(a^2 + b^2)
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ (a^2 + b^2)^2
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ 2(a^4 + b^4)
<=> a^3b + b^3a ≤ a^4 + b^4
Tượng tự b^3c + bc^3 ≤ b^4 + c^4
               c^3a + ca^3 ≤ c^4 + a^4
do đó a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4)
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4) + a^4 + b^4 + c^4
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> (a^3 + b^3 + c^3)(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
=> 3abc(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> abc(a + b + c) ≤ a^4 + b^4 + c^4
<=> abc ≤ a^4 + b^4 + c^4
Dấu"=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3
 

608e
Ta có a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) ≥ ab + bc + ca + 2(ab + bc + ca)
<=> (a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)
<=> (a + b + c)^2/9 ≥ 3(ab + bc + ca)/9
<=> ((a + b + c)/3)^2 ≥ (ab + bc + ca)/3
<=> (a + b + c)/3 ≥ √((ab + bc + ca)/3)
dấu"=" xảy ra <=> a = b = c