Xét dãy số:
A1=7
........
A17=777...77(17 chữ số 7)
A18=777...77(18 chữ số 7)
Đem dãy số này chia cho 17,
Nếu có một số nào đó chia hết cho 17 thì bài toán được chứng minh
Nếu không có số nào chia hết cho 17, số dư chỉ nhận trong các trường hợp:1;hai;3;4;...;15;16(16 trường hợp)
Theo nguyên tắc Dirichlet, có ít nhất hai số cùng dư khi chia cho 17
Giả sử, ta có:
Am=777...777(m chữ số 7)
An=777...777(n chữ số 7)            Mà m>n
Suy ra : Am-An=77...7777         -      777...777
                           m chữ số 7              n chữ số 7
= 777...77777    000000 chia hết cho 17
m-n chữ số 7     n chữ số 0
= 777...77777.10 mũ n chia hết cho 17
Mà 10 mũ n và 777...777 nguyên tố cùng nhau
Suy ra:7777......7777 chia hết cho 17
Vậy 777...7777 chia hết cho 17