dk: sin2x#0
cotx-tanx+4sin2x=2/sin2x 
<=> cosx/sinx-sinx/cosx+4sin2x=1/sinx.cosx 
<=> [cos^2(x)-sin^2(x)]+4sin2x.cosx.sinx-1=0 
<=> cos2x+2sin^2(2x)-1=0 
<=> cos2x+2[1-cos^2(2x)]-1=0 
<=> 2cos^2(2x)-cos2x-1=0 
<=> cos2x=1 hoac cos2x=-1/2 
xet dk loai cos2x=1

1) Cotx - 1 = [ cos2x / (1 + tanx) ] + sin²x - (1/2)*sin2x 
đk: 
{ sinx ≠ 0 
{ cosx ≠ 0 ---> sin2x ≠ 0 --> x ≠ π/2 + kπ (k є Z) 
pt <=> cosx/sinx - 1 = [ cos2x.cosx / (sinx + cosx) ] + sin²x - sinxcosx 
<=> cosx(sinx + cosx) - sinx(sinx + cosx) = cos2x.sinxcosx + sin³x(sinx + cosx) - sin²xcosx(sinx + cosx) 
<=> sinxcosx + cos²x - sin²x - sinxcosx = cos2x.sinxcosx + sin²x(sin²x + sinxcosx - sinxcosx - cos²x) 
<=> cos²x - sin²x = cos2x.sinxcosx + sin²x(sin²x - cos²x) 
<=> cos2x = cos2x.sinxcosx - cos2x.sin²x 
<=> cos2x(1 + sin²x - sinxcosx) = 0 
<=> { cos2x = 0 
       { 1 + sin²x - sinxcosx = 0 
+) cos2x = 0 <=> x = π/4 + Iπ/2 (l є Z) : thỏa mãn điều kiện 
+) 1 + sin²x - sinxcosx = 0 
<=> 1 + (1 - cos2x)/2 - 1/2sin2x = 0 
<=> 2 + 1 - cos2x - sin2x = 0 
<=> sin2x + cos2x = 3 
<=> √2.sin(2x + π/4) = 3 
<=> sin(2x + π/4) = 3/√2 --> vô nghiệm 
do sin(2x + π/4) ≤ 1 < 3/√2 
Vậy pt đã cho có nghiệm là x = π/4 + lπ/2 (l є Z) 

Cotx - 1 = [ cos2x / (1 + tanx) ] + sin²x - (1/2)*sin2x 
đk: 
{ sinx ≠ 0 
{ cosx ≠ 0 ---> sin2x ≠ 0 --> x ≠ π/2 + kπ (k є Z) 

pt <=> cosx/sinx - 1 = [ cos2x.cosx / (sinx + cosx) ] + sin²x - sinxcosx 
<=> cosx(sinx + cosx) - sinx(sinx + cosx) = cos2x.sinxcosx + sin³x(sinx + cosx) - sin²xcosx(sinx + cosx) 
<=> sinxcosx + cos²x - sin²x - sinxcosx = cos2x.sinxcosx + sin²x(sin²x + sinxcosx - sinxcosx - cos²x) 
<=> cos²x - sin²x = cos2x.sinxcosx + sin²x(sin²x - cos²x) 
<=> cos2x = cos2x.sinxcosx - cos2x.sin²x 
<=> cos2x(1 + sin²x - sinxcosx) = 0 
<=> 
{ cos2x = 0 
{ 1 + sin²x - sinxcosx = 0 

+) cos2x = 0 <=> x = π/4 + lπ/2 (l є Z) : thỏa mãn điều kiện 
+) 1 + sin²x - sinxcosx = 0 
<=> 1 + (1 - cos2x)/2 - 1/2sin2x = 0 
<=> 2 + 1 - cos2x - sin2x = 0 
<=> sin2x + cos2x = 3 
<=> √2.sin(2x + π/4) = 3 
<=> sin(2x + π/4) = 3/√2 --> vô nghiệm 
do sin(2x + π/4) ≤ 1 < 3/√2 

Vậy pt đã cho có nghiệm là x = π/4 + lπ/2 (l є Z)

cotx - tanx + 4sin2x = 2/sin2x
đk: sin2x # 0 
<=> 2x # kπ 
<=> x # kπ/2 
4cos^2(2x) - 2cos2x - 2 = 0 
tới đây giải tiếp sẽ ra 2 nghiệm là 
cos2x = 1 hoặc cos2x = -1/2 
nghiệm cos2x = 1 loại vì cos2x = 1 thì sin2x = 0 ( mâu thuẫn với điều kiện )

1) Cotx - 1 = [ cos2x / (1 + tanx) ] + sin²x - (1/2). sin2x  (*)
ĐKXĐ: { sinx ≠ 0 
          { cosx ≠ 0 => sin2x ≠ 0
           => x ≠ π/2 + kπ (k ∈ Z) 
PT (*)
<=> cosx/sinx - 1 = [ cos2x.cosx / (sinx + cosx) ] + sin²x - sinxcosx 
<=> cosx(sinx + cosx) - sinx(sinx + cosx) = cos2x.sinxcosx + sin³x(sinx + cosx) - sin²xcosx(sinx + cosx) 
<=> sinxcosx + cos²x - sin²x - sinxcosx = cos2x.sinxcosx + sin²x(sin²x + sinxcosx - sinxcosx - cos²x) 
<=> cos²x - sin²x = cos2x.sinxcosx + sin²x(sin²x - cos²x) 
<=> cos2x = cos2x.sinxcosx - cos2x.sin²x 
<=> cos2x(1 + sin²x - sinxcosx) = 0 
<=> { cos2x = 0 
       { 1 + sin²x - sinxcosx = 0 
+) cos2x = 0 <=> x = π/4 + Iπ/2 (l є Z) : thỏa mãn điều kiện 
+) 1 + sin²x - sinxcosx = 0 
<=> 1 + (1 - cos2x)/2 - 1/2sin2x = 0 
<=> 2 + 1 - cos2x - sin2x = 0 
<=> sin2x + cos2x = 3 
<=> √2.sin(2x + π/4) = 3 
<=> sin(2x + π/4) = 3/√2
=> vô nghiệm 
do sin(2x + π/4) ≤ 1 < 3/√2 
Vậy pt đã cho có nghiệm là x = π/4 + lπ/2 (l ∈ Z)

2) cotx - tanx + 4sin2x = 2/sin2x   (*)
ĐKXĐ: sin2x # 0
PT (*):
<=> cosx/sinx - sinx/cosx + 4sin2x = 1/sinx . cosx 
<=> [cos^2(x) - sin^2(x)] + 4sin2x . cosx . sinx - 1 = 0 
<=> cos2x + 2sin^2(2x) - 1 = 0 
<=> cos2x + 2[1 - cos^2(2x)] - 1 = 0 
<=> 2cos^2(2x) - cos2x - 1 = 0 
<=> cos2x = 1 (loại) 
hoặc cos2x = -1/2