Đề kiểm tra Học kì 2 Tự Luận Toán 8 (Đề 2)

Bài 1: Giải bất phương trình :

và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Bài 2: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 5 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 6 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2km/h và vận tốc của ca nô không thay đổi cả quá trình đi và về.

Bài 3: Giải phương trình :

a) |2 – 4x| = 6

c) |x – 1| = 2x

Bài 4: Chứng minh rằng nếu a > 0, b > 0, c > 0 và a < b thì

Bài 5: Cho hình thang cân ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, CD, và BD.

a) Chứng minh EFGH là hình thoi

b) Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì để EFGH là hình vuông.

Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ΔAEB và ∆AFC đồng dạng. Từ đó suy ra: AF.AB = AE.AC

b) Chứng minh ∠AEF = ∠ABC

c) Cho AE = 3cm, AB = 6cm. Chứng minh rằng S_ABC = 4S_AEF

d) Chứng minh

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

<=> 3 – 2x ≥ 5(4x + 5) <=> 3 – 2x ≥ 20x + 25

<=> -22x ≥ 22 <=> x ≤ -1

Tập nghiệm : S = {x | x ≤ -1}

Biểu diễn trên trục số:

Bài 2:

Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h; x > 0)

Vận tốc khi xuôi dòng là x + 2 (km/h)

Vận tốc khi ngược dòng là x – 2 (km/h). Điều kiện x > 2.

Khoảng cách AB là 5(x + 2) và khoảng cách BA là 6(x – 2)

Ta có phương trình: 5(x + 2) = 6(x – 2)

<=> 5x + 10 = 6x – 12 <=> 5x – 6x = -12 – 10

<=> -x = -22 <=> x = 22 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là 5(22 + 2) = 120 (km)

Bài 3:

a) |2 – 4x| = 6 <=> 2 – 4x = 6 hoặc 2 – 4x = -6

<=> -4x = 6 – 2 hoặc -4x = -6 – 2

<=> -4x = 4 hoặc -4x = -8

<=> x = -1 hoặc x = 2

Tập nghiệm : S = {-1 ; 2}

b) Điều kiện: x + 5 ≠ 0 và x – 5 ≠ 0 <=> x ≠ <=> 5

(Khi đó: x² – 25 = (x + 5)(x – 5) ≠ 0)

MTC: x² – 25 = (x +5)(x – 5)

Quy đồng và khử mẫu, ta được: x = x – 5 + (1 – x)(x + 5)

<=> x = x – 5 + x + 5 – x² – 5x <=> x² + 4x = 0

<=> x(x + 4) = 0 <=> x = 0 hoặc x = -4 (thỏa mãn điều kiện)

Tập nghiệm S = {0; -4}

c) Điều kiện: 2x ≥ 0 <=> x ≥ 0

Khi đó: |x – 1| = 2x <=> x – 1 = 2x hoặc x – 1 = -2x

<=> x = -1 hoặc x = 1/2

Tập nghiệm S = {1/3}

Bài 4:

Ta có:

<=> a(b + c) < (a + c)b

(vì a > 0, b > 0 và c > 0 <=> b + c > 0 và a + c > 0)

<=> ab + ac < ab + bc

<=> ac < bc <=> a < b (luôn đúng, theo gt)

Bài 5:

a) Ta có E là trung điểm của AB, H là trung điểm của BD

=> HE là đường trung bình của ∆ABD

=> HE // AD và HE = AD/2

Tương tự, ta có: FG // AD và FG = AD/2

=> HE // FG và HE = FG

Chứng minh tương tự ta có:

EF // HG và EF = HG = BC/2

Lại có AD = BC (gt) => EH = HG = FG = EF

Vậy EFGH là hình thoi.

b) Hình thoi EFGH là hình vuông <=> ∠HEF = 90^o

<=> HE ⊥ FE <=> AD ⊥ BC (vì AD // HE và BC // FE)

(Gọi M là giao điểm của AD và BC)

<=> ∠DMC = 90^o <=> ΔDMC vuông cân tại M

<=> Hình thang cân ABCD (AB // CD) có ∠ADC = ∠BCD = 45^o

Bài 6:

a) Xét ΔAEB và ΔAFC có:

∠AEB = ∠AFC = 90^o (gt)

∠A chung

Vậy ΔAEB ∼ ΔAFC (g.g)

b) Xét ΔAEF và ΔABC có ∠A chung và (1)

=> ΔAEF ∼ ΔABC (c.g.c) => ∠AEF = ∠ABC

c) ΔAEF ∼ ΔABC (cmt)

Đề kiểm tra Học kì 2 Tự Luận Toán 8 (Đề 3)

Bài 1: Giải bất phương trình : (x – 2)² + 2(x – 1) ≤ x² + 4 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Bài 2: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đi từ B về A với vận tốc 45km/h. Thời gian cả đi và về hết 7 giờ. Tính quãng đường AB.

Bài 3: Giải phương trình:

Bài 4: Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì a² + b² ≥ 1/2

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AD = 6cm, A’B’ = 4cm, CC’ = 3,5cm.

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của hình hộp chữ nhật

b) Tính độ dài đoạn BD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = AD = CD/2. Gọi M là trung điểm của CD và H là giao điểm của AM và BD.

a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình thoi

b) Chứng minh BD ⊥ BC

c) Chứng minh ΔAHD và ΔCBD đồng dạng

d) Biết AB = 2,5cm; BD = 4cm. Tính độ dài cạnh BC và diện tích hình thang ABCD.

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

(x – 2)² + 2(x – 1) ≤ x² + 4 <=> x² – 4x + 4 + 2x – 2 ≤ x² + 4

<=> -2x ≤ 2 <=> x ≥ -1

Tập nghiệm S = {x | x ≥ -1}

Biểu diễn tập nghiệm

Bài 2:

Gọi x (km) là quãng đường AB (x > 0)

Thời gian đi từ A đến B là:

Thời gian đi từ B về A là:

Theo đề ra, ta có phương trình:

<=> 3x + 4x = 7.180 <=> 7x = 7.180 <=> x = 180 (nhận)

Trả lời: Quãng đường AB dài 180km.

Bài 3:

a) Điều kiện: x + 2 ≠ 0 và x – 2 ≠ 0 <=> x ≠ ±2

(Khi đó: x² – 4 = (x + 2)(x – 2) ≠ 0)

Quy đồng và khử mẫu, ta được:

9 = (x – 1)(x – 2) + 3(x + 2) <=> 9 = x² – 3x + 2 + 3x + 6

<=> x² – 1 = 0 <=> (x – 1)(x + 1) = 0

<=> x – 1 = 0 hoặc x + 1 = 0

<=> x = 1 hoặc x = -1

Tập nghiệm: S = {-1; 1}

b) Điều kiện: 2x ≥ 0 <=> x ≥ 0

Khi đó: |x – 5| = 2x <=> x – 5 = 2x hoặc x – 5 = -2x

<=> x = -5 hoặc x = 5/3

Vì x ≥ 0 nên ta lấy x = 5/3 . Tập nghiệm : S = {5/3}

Bài 4:

Ta có: a + b = 1 <=> b = 1 – a

Thay vào bất đẳng thức a² + b² ≥ 1/2 , ta được:

a² + (1 – a)² ≥ 1/2 <=> a² + 1 – 2a + a² ≥ 1/2

<=> 2a² – 2a + 1 ≥ 1/2 <=> 4a² – 4a + 2 ≥ 1

<=> 4a² – 4a + 1 ≥ 0 <=> (2a – 1)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 5:

a) Ta có A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên C’D’ = A’B’ = 4 (cm)

Chứng minh tương tự ta có:

AB = CD = C’D’ = A’B’ = 4cm

BB’ = AA’ = DD’ = CC’ = 3,5cm

A’D’ = B’C’ = BC = AD = 6cm

b) ABCD là hình chữ nhật nên ∆ABD vuông tại A, ta có:

Bài 6:

a) Ta có: AB = AD = CD/2 và M là trung điểm của CD (gt)

<=> AB = DM và AB // DM

Do đó tứ giác ABMD là hình bình hành có AB = AD. Vậy ABMD là hình thoi.

b) M là trung điểm của CD nên BM là trung tuyến của ∆BDC mà MB=MD=MC. Do đó ∆BDC là tam giác vuông tại B hay DB ⊥ BC

c) ABMD là hình thoi (cmt) <=> ∠D₁ = ∠D₂

Do đó hai tam giác vuông AHD và CBD đồng dạng (g.g)

d) Ta có :

Xét tam giác vuông AHB, ta có :

Dễ thấy tứ giác ABCM là hình bình hành (AB // CM và AB = CM)

=> BC = AM = 3 (cm)

Ta có:

M là trung điểm của DC nên

S_BMD = S_BMC = S_BCD/2 = 3 (cm²) (chung đường cao kẻ từ B và MD = MC)

Mặt khác ∆ABD = ∆MDB (ABCD là hình thoi)

<=> S_ABD = S_BMD = 3 (cm²)

Vậy S_ABCD = S_ABD + S_BMD + S_BMC = 9 (cm²)

Đề kiểm tra Học kì 2 Tự Luận Toán 8 (Đề 4)

Bài 1: Giải bất phương trình : 3x²+x > 3(x-2)(x+²).

Bài 2: Tìm x, sao cho :

Bài 3: Giải phương trình :

Bài 4: Chứng minh rằng : a⁴ + 16 ≥2a³ + 8a.

Bài 5: Một số có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục. Nếu đặt chữ số 2 xen giữa hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 200. Tìm số đã cho.

Bài 6: Cho M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, CD, BD của tứ giác ABCD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình chữ nhật , hình thoi, hình vuông.

Bài 7: Cho hình thoi ABCD có ∠A = 60^o. Gọi P là trung điể.m của cạnh AB và N là giao điểm của đường thẳng AD và CP.

a) Chứng minh P là trung điểm NC.

b) Chứng minh tam giác CDN và tam giác PBC đồng dạng.

c) Chứng minh diện tích hình thoi bằng 4 lần diện tích tam giác PBC.

d) Gọi M là giao điểm của BN và DP. Chứng minh PA.PB = PD.PM.

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

3x² + x > 3(x-2)(x+2) <=> 3x² + x > 3(x²-4)

<=> 3x² + x > 3x² - 12

<=> x > -12

Tập nghiệm : S = {x|x > -12}.

Bài 2:

Trường hợp 1: x + 1 > 0 và x - 1 < 0

<=> x > -1 và x < 1

<=> -1 < x < 1

Trường hợp 2: x + 1 < 0 và x - 1 > 0

<=> x < -1 và x > 1 (vô nghiệm)

Vậy -1 <x < 1

Bài 3:

a) Điều kiện: x - 2 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0

<=> x ≠ 2 và x ≠ -2

(Khi đó: x² - 4 = (x - 2)(x + 2) ≠ 0)

<=> MTC: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

Quy đồng và khử mẫu, ta được:

(x + 1)(x + 2) - 5(x - 2) = 12 + x² - 4

<=> x² + 2x + x + 2 - 5x + 10 = 8 + x²

<=> -2x = -4 <=> x = 2 ( vì x ≠ ±2 nên x = 2 bị loại)

Tập nghiệm: S = ∅

b) Điều kiện: 2 - x ≥ 0 <=> x ≤ 2. Khi đó:

|2x - 5| = 2 - x <=> 2x - 5 = 2 - x hoặc 2x - 5 = -(2 - x)

<=> 3x = 7 hoặc x = 3

<=> x = 7/3 hoặc x = 3

(x = 7/3; x = 3 không thỏa mãn điều kiện x ≤ 2)

Tập nghiệm: S = ∅

Bài 4:

a⁴ + 16 ≥ 2a³ + 8

<=> a⁴ + 16 - 2a³ - 8a ≥ 0

<=> (a⁴ - 2a³) - (8a - 16) ≥ 0

<=> a³(a - 2) - 8(a - 2) ≥ 0

<=> (a - 2)(a³ - 8) ≥ 0

<=> (a - 2)(a - 2)(a² + 2a + 4) ≥ 0

<=> (a - 2)²[(a + 1)² + 3] ≥ 0

(luôn đúng vì (a - 2)² ≥ 0 và (a + 1)² ≥ 0 => (a + 1)² + 3 > 0)

Bài 5:

Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x( 0 < x < 9 , x ∈ N). Khi đó chữ số hàng đơn vị là 2x.

Vậy số phải tìm dạng:

Khi xen chữ số 2 vào, ta được số

Theo bài ra, ta có phương trình :

100x + 2.10 + 2x = (10x + 2x) + 200

<=>102x + 20 = 12x + 200 <=> 90x = 180 <=> x = 2

Trả lời : Số cần tìm là 24.

Bài 6:

Để thấy MNPQ là hình bình hành ( MN // PQ và MN = PQ = BC/2).

+ Hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật

<=> ∠MNP = 90^o <=> MN ⊥ NP <=> BC ⊥ AD

+ Hình bình hành MNPQ là hình thoi

<=> MN = PN <=> BC = AD

+ Hình bình hành MNPQ là hình vuông

Bài 7:

a) Ta có AD // BC (gt) => ∠NAP = ∠CBA ( so le trong )

Xét ΔNAP và ΔCBP có : ∠P₁ = ∠P₂ ( đối đỉnh ), PA = PB (gt).

∠NAP = ∠CBA(cmt)

Do đó ΔNAP = ΔCBP (g.c.g) => NP = PC hay P là trung điểm của NC

b) Vì AD // BC nên ∠C₁ = ∠N (so le trong)

Mặt khác ABCD là hình thoi nên ∠ABC = ∠ADC.

c) Ta có ΔNAP = ΔCBP (cmt)

Do đó S_NDC = S_ABCD (1)

Mà ΔNDC ∼ ΔCBP (cmt)

d) Nối A với C. Xét ΔNPB và ΔAPC có : AP = BP (gt), ∠NPB ∠CPA (đối đỉnh, NP = CP (cmt))

Do đó ΔBPN = ΔAPC (c.g.c) => ∠NBA = ∠CAB

NB // AC ( cặp góc so lo trong bằng nhau ) mà AC ⊥ BD ( tính chất đường chéo hình thoi )

NB ⊥ BD hay ∠NBD = 90^o mà ∠ABD = 60^o ( vì ∠ABC = 120^o )

=> ∠NBA = 30^o

Mặt khác ΔABD là tam giác đều nên trung tuyến DP đồng thời là đường phân giác hay ∠D₁ = ∠D₂ = ∠ADB/2 = 60^o/2 = 30^o.

Xét ΔBPM và ΔDPA có : ∠NBA = ∠D₁ = 30^o, ∠BPM = ∠DPA( đối đỉnh )

Do đó ΔBPM ∼ ΔDPA (g.g)

Đề kiểm tra Học kì 2 Tự Luận Toán 8 (Đề 5)

Bài 1: Giải bất phương trình :

Bài 2: Giải phương trình :

Bài 3: Chứng minh rằng :

Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vài một cái bể, vòi thứ nhất mỗi phút chảy được 40 lít, vòi thứ hai mỗi phút chảy được 30 lít. Nếu cho vòi thứ hai chảy nhiều hơn vòi thứ nhất 6 phút thì cả hai vòi chảy được lượng nước như nhau và bằng nửa lượng nước ở bể. Tính dung tích của bể.

Bài 5: Tam giác ABC có ∠A ≤ 90^o, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Từ B kẻ Bx vuông góc với AB. Từ C kẻ đường thẳng Cy vuông góc với AC, Bx cắt Cy tại K. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) Ba điểm H, I, K thẳng hàng.

b) Tam giác ABC phải có điều kiện gì để tứ giác BHCK là hình thoi, là hình vuông.

Bài 6: Cho hình vuông ABCD có I thuộc AB. Gọi M là giao điểm của DI và BC. Qua D kẻ Dx vuông góc với DM và Dx cắt BC tại N.

a) Chứng tỏ rằng Ai.BM = AD.IB.

b) Chứng minh ADIN vuông cân.

c) Chứng minh

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

<=> 3(3x+5)-6 ≤ 2(x+2)+6x

<=> 9x+15-6 ≤ 2x+4+6x

<=> 9x-8x ≤ 4-9 <=> x ≤ -5

Tập nghiệm : S={x| x ≤ -5}.

Bài 2:

a) |x - 1 | = |1 + x| <=> x-1 = 1+x hoặc x-1 = -(1+x)

<=> -1 = 1 (vô nghiệm) hoặc x-1 = -1-x

<=> x = 0

Tập nghiệm : S={0}.

b) Điều kiện : x-1 ≠ 0 và x+1 ≠ 0

<=>x ≠ 1 và x ≠ -1 (khi đó 1 - x² = -(x² - 1)≠ 0)

MTC : x² - 1. Quy đồng và khử mẫu, ta được :

(2 - x)(x + 1)+(x - 3)(x - 1) = -2x

<=>2x + 2 - x² - x + x² - x - 3x + 3 + 2x = 0

<=> -x = -5 <=>x = 5 ( thỏa điều kiện x ≠ ±1 )

Tập nghiệm : S = {5}.

Bài 3:

Ta có : a² + 1/4 ≥ a

<=> 4a² + 1 ≥ 4a <=> 4a² - 4a + 1 ≥ 0

<=> (2a - 1)² ≥ 0 ( luôn đúng ).

Bài 4:

Gọi x ( phút ) là thời gian vòi thứ nhất chảy vào bể (x > 0).

Khi đó x+6 (phút) là thời gian vòi thứ hai chảy vào bể.

Lượng nước của hai vòi như nhau, nên ta có phương trình :

40.x = 30.(x+6) <=> 40x = 30x+180 <=> 10x = 180 <=> x = 18

Vậy lượng nước mỗi vòi chảy vào bể sẽ là : 40.18 = 720 (lít)

Trả lời : Dung tích của bể là : 2.720 = 1440 ( lít).

Bài 5:

Trường hợp 1 : ∠A < 90^o

a) Ta có : CE ⊥ AB; BK ⊥ AB (gt) => CE // BK

Tương tự : BD // CK ( AC)

Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành.

I là trung điểm của đường chéo BC

=> đường chéo thứ hai HK phải qua I hay ba điểm H, K, I thẳng hàng.

b) Hình bình hành BHCK là hình thoi

<=> BH = CH

<=> BHC cân tại H <=> ∠HBC = ∠HCB

<=> ΔBDC = ∠CEB <=> BD = CE

<=> ΔBDA = ΔCEA <=> AB = AC

<=> ΔABC cân tại A

Hình bình hành BHCK là hình vuông khi BHCK là hình thoi và có 1 góc vuông <=> BH ⊥ CH và CH ⊥ BA nên BH phải trùng với BA hay BD trùng với BA <=> H trùng với A hay ΔABC vuông tại A. Vậy để BHCK là hình vuông thì ΔABC vuông cân tại A.

Trường hợp 2 : ∠A = 90^o

Ta có H trùng với A. Khi đó BHCK là hình chữ nhật. Để BHCK là hình thoi thì AB = AC hay tam giác ABC vuông cân tại A.

Bài 6:

a) Dễ thấy hai tam giác vuông IAD và IBM có ∠I₁ = ∠I₂ (đối đỉnh)

=> ΔIAD ∼ ΔIBM (g.g)

b) Ta có : Dx DM (gt) => ∠D₁ = ∠D₃ ( cùng phụ góc ∠D₂ )

Do đó ΔIAD = ΔNCD (g.g)

=>DI = DN

Vậy ΔDIN vuông cân tại D.

c) Ta có ΔDCN ∼ ΔMDN (g.g)

=> DC².MN² = DM².DN² hay DC²(DM² + DN²) = DM².DN²

Đề kiểm tra Học kì 2 Tự Luận Toán 8 (Đề 6)

Bài 1: Giải các phương trình sau :

a) 4(2x - 3) = 5x + 3

b) 4x² - 1 = (2x + 1)(3x - 5)

Bài 2: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :

b) x(x - 2) > -2x

c) x² - 2x > -1.

Bài 3: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết vận tốc của dòng nước là 2km/h.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH.

a) Chứng minh rằng ΔABC ∼ ΔHBA và AB² = BH.BC.

b) Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AH tại D. Chứng minh rằng HA.HB = HC.HD.

c) Chứng minh rằng AB² = AC.BD.

d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, AC. Chứng minh rằng M, H, N thẳng hàng.

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) 4(2x-3) = 5x+3 <=> 8x-12 = 5x+3 <=> 8x-5x = 12+3

<=> 3x = 14 <=> x = 5

Vậy S = {5}.

b) 4x²-1 = (2x+1)(3x-5) <=> (2x-1)(2x+1) –(2x+1)(3x-5) = 0

<=> (2x+1)(2x-1)-(3x-5) = 0

<=> (2x+1)(2x-1-3x+5) = 0

<=> (2x+1)(4-x) = 0

<=> 2x+1 = 0 hoặc 4-x = 0

<=> x = -1/2 hoặc x = 4

Vậy S = {-1/2;4}.

c) ĐKXĐ : x = -1 , x = 3

<=> x(x + 1) + x(x - 3) = 4x

<=> x² + x + x² - 3x = 4x

<=> 2x² + x - 4x - 3x = 0

<=> 2x² - 6x = 0

<=> 2x(x - 3) = 0

<=> 2x = 0 hoặc x - 3 = 0

<=> x = 0 hoặc x = 3 (loại)

Vậy S = {0}

Bài 2:

<=> 6x-2x-4 ≤ 18x+3x+30

<=> 6x-2x-18x-3x ≤ 30+4

<=> -17x ≤ 34 <=> x ≥ -2

Vậy tập nghiệm S = {x | x ≥ -2}

Bạn đọc tự biểu diễn trên trục số.

b) x(x - 2) > -2x <=> x² - 2x > -2x <=> x² > 0 <=> x ≠ 0

Vậy tập nghiệm S = R^*

c) x² - 2x ≥ -1 <=> x² -2x + 1 ≥ 0 <=>(x-1)² ≥ 0 với mọi giá trị của x

Vậy tập nghiệm S = R

Bài 3:

Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) (x > 2).

Vận tốc ca nô xuôi dòng từ A đến B là x+2 và vận tốc ca nô lúc ngược dòng từ B về A là x-2.

Quãng đường AB là 4(x+2) và quãng đường từ B về A là 5(x-2).

Theo bài ra ta có phương trình :

4(x+2) = 5(x-2) <=> 4x+8 = 5x-10 <=> 5x-4x = 8+10 <=> x = 18

Vận tốc thực của ca nô là 18 km/h.

Do đó quãng đường AB là 4(18+2) = 80km

Bài 4:

a) Xét ΔABC và ΔHBA có

∠BAC = ∠AHB = 90^o (gt), ∠B chung

Do đó ΔABC ∼ ΔHBA (g.g)

b) Ta có BD // AC (gt)

=> ∠C = ∠B₁ ( so le trong )

Lại có ∠AHC = ∠BHD ( đối đỉnh )

Do đó ΔAHC ∼ ΔDHB (g.g)

c) Ta có BD // AC (gt) mà AC ⊥ AB => BD ⊥ AB

Xét ΔABD và ΔCAB có ∠ABD = ∠BAC = 90^o (cmt), ∠A₁ = ∠C( cùng phụ với ∠B)

Do đó ΔABD ∼ ΔCAB (g.g)

d) Ta có ΔAHC ∼ ΔDHB (cmt)

=> ΔHBM ∼ ΔHCN (c.g.c) => ∠BHM ∠CHN mà ∠CHN + ∠BHN = 180^o

=> ∠BHM + ∠BHN = 180^o hay M, H, N thẳng hàng.

Đề kiểm tra Học kì 2 Tự Luận Toán 8 (Đề 7)

Bài 1:

Giải các phương trình sau :

a) x(2x-5)-6 = 2x²+4(x+3)

b) (4x+7)² = 81

d) |x-6|=3x + 2

Bài 2:

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :

a) 2x+3 ≥ x/2

Bài 3:

Một khu vườn hình chữ nhật co chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng

4m và giảm chiều dài 6m thì diện tích của khu vườn không thay đổi. Tìm chu vi khu vườn.

Bài 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH.

a) Chứng minh ΔACH ∼ ΔBCA.

b) Chứng minh AH² = BH.CH.

c) Tia phân giác của góc ΔAHB cắt cạnh AB tại D và tia phân giác của góc AHC cắt cạnh AC tại E. Chứng minh AB/AC=HD/HE .

d) DE cắt Ah tại F. Chứng minh AD = AE.

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) x(2x-5)-6 = 2x²+4(x+3) <=> 2x²-5x-6 = 2x²+4x-12

<=> -5x-4x = -12+6

<=> -9x = -6 x = .

b) (4x+7)2 = 81 <=> (4x+7)² = 92 <=> (4x+7)2-92 = 0

<=> (4x+7-9)(4x+7+9) = 0

<=> (4x-2)(4x+16) = 0

<=> 4x-2 = 0 hoặc 4x+16 = 0

<=> 4x = 2 hoặc 4x = -16

<=> x = hoặc x = = -4.

c) ĐKXĐ : x ≠0.x≠3;

<=>(x-3)² -9 = 2x²

<=> x²-6x+9-9 = 2x² <=> x²+6x = 0

<=>x(x+6) = 0 <=> x = 0 hoặc x+6 = 0

<=> x = 0 hoặc x = -6.

d) Điều kiện : 3x+2 , khi đó :

x-6 = 3x+2 hoặc x-6 = -(3x+2)

<=> x-3x = 2+6 hoặc x+3x = -2+6

<=> -2x = 8 hoặc 4x = 4

<=> x =-4 hoặc x = 1.

Bài 2:

a) 2x+3 ≥x/2 <=> 4x+6 ≥ x <=> 4x-x ≥ -6 <=> 3x ≥ -6<=> x ≥-2

Bạn đọc tự biểu diễn trên trục số.

b)

<=> 9x+6-12 ≥ 16x-20

<=> 9x-16x ≥ -6+12-20

<=> -7x ≥ -14 <=> 7x ≤14 <=> x ≤2

Bạn đọc tự biểu diễn trên trục số.

Bài 3:

Gọi chiều rộng của khu vườn lúc đầu là x(m) (x > 0) thì chiều dài của khu vường lúc

đầu là 2x (m).

Do đó diện tích của khu vườn lúc đầu là x.2x = 2x² (m²)

Chiều rộng sau khi tăng là x+4(m)

Chiều dài sau khi giảm là 2x-6(m)

Diện tích của khu vườn lúc sau là (x+4)(2x-6) (m²)

Theo bài ra ta có phương trình :

2x² = (x+4)(2x-6) <=> 2x² = 2x²-6x+8x-24

<=> 2x =24 <=> x = 12

Chiều rộng khu vườn lúc đầu là 12m.

Chiều dài khu vườn lúc đầu là 2.12 = 24m

Vậy chu vi của khu vườn lúc đầu là 2(24+12) = 72m

Bài 4:

a) Xét ΔACH và Δ BAC có :

∠AHC=∠BAC(gt)

C=A₁ (cùng phụ với B )

=> ΔACH ∼ BAC (g.g).

b) Tương tự hai tam giác vuông ΔAHB và ΔCHA có C = A₁ (cmt)

=> ΔAHB ∼ CHA(g.g) => AH/CH=BH/AH => AH² =BH.CH

c) Vì HD và HE là phân giác của hai góc vuông ΔAHB và ΔCHA nên :

H₁=H₂=H₃=H₄= 45^o

Xét AHD và CHE có H₁=H₄ và C = A₁ (cmt)

=> AHD ∼ CHE (g.g) => HD/HE=AH/CH (1)

Lại có ΔAHB ∼CHA(cmt) => AH/CH=AB/AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra : AB/AC=HD/HE.

d) Ta có HD là phân giác của góc ΔAHB

Lại có ΔBDH ∼ ΔAEH (g.g)

Từ (3) và (4) suy ra : AD/HA = AE/HA => AD=AE.

Đề kiểm tra Học kì 2 Tự Luận Toán 8 (Đề 8)

Bài 1:

Giải các phương trình sau :

a) (x-3)² = x²-9

c) |x + 2| = 2x – 10 .

Bài 2:

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :

a)

b) x²-2x≥-1

Bài 3:

Quãng đường từ A đến B dài 180km. Xe thứ nhất khởi hành từ A đến B. Cùng lúc đó

và trên cùng quãng đường AB, xe thứ hai khởi hành từ B đến A với vận tốc lớn hơn

vận tốc xe thứ nhất là 10km/h. Biết rằng hai xe gặp nhau tại nơi cách A là 80km.

Tính vận tốc mỗi xe.

Bài 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x²-15x+12.

Bài 5:

Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm , AB = 8cm, hai đường chéo AC và BD cắt

nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt tai BC tại E.

a) Chứng minh rằng ΔBDE∼ΔDCE

b) Kẻ CH vuông góc với DE tại H. Chứng minh DC² = CH.DB.

c) Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC và tính tỉ số

S_EHC/S_EDB

d) Chứng minh ba đường thẳng OE, DC, BH đồng quy.

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) (x-3)² = x²-9 <=> (x-3)2-(x-3)(x+3) = 0

<=> (x-3)[(x-3)-(x+3)] = 0

<=> (x-3)(x-3-x-3) = 0

<=> (x-3)(-6) = 0 <=> x-3 = 0 <=> x = 3

Vậy S = {3}.

b) ĐKXĐ : x ≠ 0; x≠ 1

<=> (x+1)²+x(x+1) = x(2x-1)

<=> x²+2x+1+x²+x=2x²-x

<=> 2x+x+x = -1 <=> 4x = -1 <=> x = -1/4

Vậy S = {-1/4}

c) Điều kiện : 2x-10 ≥0 <=>2x ≥10 <=> x≥5 , khi đó :

| x+2| = 2x-10<=> x+2 = 2x-10 hoặc x+2 = -(2x-10)

<=> x-2x = -10-2 hoặc x+2 = -2x+10

<=> -x = -12 hoặc x+2x = 10-2.

<=> x = 12 hoặc 3x = 8

<=> x = 12 hoặc x = 8/3 ( loại vì x≥5 )

Vậy S = {12}.

Bài 2:

<=> 2(2x+1)-3(3x-2) > 1

<=> 4x+2-9x+6 > 1 <=> 4x-9x > 1-6-2

<=> -5x > -7 5x < 7 <=> x<7/5

b) x²-2x > -1 <=> x²-2x+1 ≥ 0

<=> (x-1)2 ≥ 0 luôn đúng với mọi giá trị của x.

Vậy S = R.

Bạn đọc tự biểu diễn trên trục số.

Bài 2:

Gọi vận tốc của xe thứ nhất đi từ A đến B là x (km/h) (x > 0) thì vận tốc của xe thứ

hai đi từ B đến A là x+10 (km/h)

Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến chỗ hai xe gặp nhau là 80/x (h)

Thời gian xe thứ hai đi từ B đến chỗ 2 xe gặp nhau là :

Theo bài ra ta có phương trình sau :

<=> 80(x+10) = 100x<=> 80x+800 = 100x

<=> 100x-80x = 800 <=> 20x = 800 <=> x = 40.

Trả lời : Vận tốc xe thứ nhất , đi từ A là 40 (km/h).

Vận tốc xe thứ hai , đi từ B là 40+10 = 50 (km/h).

Bài 4:

Ta có A = 3x²-15x+12 = 3(x²-5x+4)

Dấu bằng xảy ra khi x-5/2=0 <=>x=5/2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -27/4 khi x=5/2 .

Bài 5:

a) Dễ thấy ΔBDE và ΔDEC là hai tam giác vuông (gt) ∠có E chung

=> ΔBDE ∼ ΔDEC(g.g).

b) Xét ΔDHC và ΔBCD có:

∠DHC=∠DCB=90^o (gt)

∠C₁=∠D₁ (so le trong CH // BD ⊥ DE )

=>ΔDHC∼ΔBCD (g.g)

=>DC/DB=CH/DC=>DC²=CH.DB

c) Ta có CH // BD ( ⊥ DE)

Theo hệ quả của định lí Talet với BOE :

KC/OB=KE/OE (1)

Tương tự với ΔDOE ta có KH/OD=KE/OE (2)

Từ (1) và (2) suy ra : KC/OB=KH/OD mà OB = OD

=> KC = KH hay K là trung điểm của HC.

Dễ thấy HC // BD (cmt)=> Δ EHC ∼ΔEDB

d) Gọi I là giao điểm của BH và CD ta có HC // BD.

Theo hệ quả của định lí Talet ta có :

Lại có B₁=H₁ ( so le trong )

Do đó ΔHIK ∼ΔBIO (c.g.c) => ∠HIK=∠BIO mà ∠BIO + ∠HIO=180^o

=> ∠HIK +∠HIO=180^o

Chứng tỏ ba điểm O, I, K thẳng hàng hay OE đi qua I.

Vậy ba đường thẳng OE, DC, BH đồng quy.

Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 8 (Đề 1)

Phần Lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn

b) Áp dụng để giải phương trình: 5 – 3x = 7

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Viết công thức diện tích xung quanh và thể tích hình chóp đều.

b) Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 5cm; chiều cao SO = 7cm. Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) 12 + 3x = 9

b) (x - 3)(5x + 3) = (2x - 5)(x - 3)

d) |7 - x| = 5x + 1

Bài 2: (1,5 điểm) Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 60km/giờ. Khi về ô tô đi với vận tốc trung bình 50km/giờ nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1/2 giờ. Tính độ dài quãng đường AB.

Bài 3: (3 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB < CD và đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD, đường cao AH.

a) Chứng minh tam giác ADC đồng dạng với tam giác HAC.

b) Chứng minh AC.AD = AH.CD

c) Cho biết AB = 14cm; AC = 16cm và AD = 12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng HD; HC và diện tích hình thang ABCD.

Đáp án và Hướng dẫn giải

Phần Lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Phương trình ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

b) Áp dụng: 5 – 3x = 7 <=> -3x = 7 - 5 <=> -3x = 2 <=> -2/3

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {-2/3}

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Công thức diện tích xung quanh hình chóp đều.

S_xq = p.d (p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn của hình chóp đều)

Công thức tính thể tích hình chóp đều:

V = (1/3).S.h

(S là diện tích đáy; h là chiều cao hình chóp đều)

b) Áp dụng: Ta có

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm)

a) 12 + 3x = 9 <=> 3x = 9 - 12 <=> 3x = -3 <=> x = -1

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {-1}

b) (x - 3)(5x + 3) = (2x - 5)(x - 3)

<=> (x - 3)(5x + 3) - (2x - 5)(x - 3) = 0

<=> (x - 3)(5x + 3 - 2x + 5) = 0

<=> (x - 3)(3x + 8) = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình:

<=> 3(x + 3) - 2(7x - 6) + 12 ≤ 0 <=> 3x + 9 - 14x + 12 + 12 ≤ 0

<=> -11x + 33 ≤ 0 <=> -11x ≤ -33 <=> x ≥ 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x | x ≥ 3}

d) |7 - x| = 5x + 1 (*)

Ta có |7 - x| = 7 - x khi 7 - x ≥ 0 hay x ≤ 7

|7 - x| = -(7 - x) khi 7 - x < 0 hay x > 7

Vậy để giải phương trình (*) ta qui về giải hai phương trình sau:

+) 7 - x = 5x + 1 với điều kiện x ≤ 7

Ta có: 7 - x = 5x + 1 <=> 6x = 6 <=> x = 1 (TMĐK)

Do đó: x = 1 là nghiệm của phương trình (*)

+) -(7 - x) = 5x + 1 với điều kiện x > 7. Ta có:

-(7 - x) = 5x + 1 <=> -7 + x = 5x + 1 <=> 4x = -8 <=> x = -2 (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1}

Bài 2: (1,5 điểm)

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km). Điều kiện x > 0

Thời gian ô tô đi từ A đến B là:

Thời gian ô tô đi từ B về A là:

Ta có phương trình:

<=>6x - 5x = 150

<=> x = 150 (TMĐK)

Vậy quãng đường AB dài 150km

Bài 3: (3 điểm)

a) Xét ΔADC và ΔHAC có:

∠DAC = ∠AHC = 90^o

∠ACD chung

Suy ra ΔADC ∼ ΔHAC (g.g)

b) Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra AC.AD = AH.DC

c) Ta có: CD² = AD² + AC² (định lý Pytago)

= 12² + 6² = 400 (cm)

=> CD = 20(cm)

ΔADC ∼ ΔHAC (chứng minh trên)

Theo câu b) ta có

Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 8 (Đề 2)

Phần lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Nêu quy tắc chuyển vế để biến đổi bất phương trình.

b) Áp dụng: Giải bất phương trình x - 3 ≥ 2x - 5 và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Phát biểu hệ quả của định lý Ta-lét.

b) Áp dụng: Tính độ dài x đoạn thẳng DE trong hình bên (DE // BC)

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:

a) 5x - 3 = 7x + 1

c) (x - 2)(x + 3) = (x - 2)²

d) |3x| = x + 6

Bài 2: (1,5 điểm) Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất 50 sản phẩm. Khi thực hiện mỗi ngày tổ sản xuất 57 sản phẩm. Do đó, tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Bài 3: (2 điểm) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD và đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC. Vẽ đường cao BH.

a) Chứng minh ΔBDC ∼ ΔHBC

b) Cho BC = 15cm; CD = 25cm. Tính HC, HD.

c) Tính diện tích hình thang ABCD

Bài 4: (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy AB = 10cm, cạnh bên SA = 12cm. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.

a) Tính đường cao SO của hình chóp

b) Tính thể tích hình chóp

Đáp án và Hướng dẫn giải

Phần lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia, ta phải đổi dấu hạng tử đó.

b) Áp dụng:

x - 3 ≤ 2x - 5 <=> x - 2x ≤ -5 + 3 <=> -x ≤ -2 <=> x ≥ 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = {x | x ≥ 2}

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Hệ quả của định lý Ta-lét:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

b) Áp dụng: Vì DE // BC (gt)

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: ( điểm)

a) 5x - 3 = 7x + 1

<=> 5x - 7x = 1 + 3

<=> -2x = 4

<=7gt; x = -2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2}

ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ 2

Quy đồng mẫu hai vễ của phương trình, ta được:

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1}

c) (x - 2)(x + 3) = (x - 2)²

<=> (x - 2)^o - (x - 2)(x + 3) = 0

<=> (x - 2)(x - 2 - x- 3) = 0

<=> (x - 2)(-5) = 0

<=> x - 2 = 0

<=> x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

d) |3x| = x + 6(1)

Ta có 3x = 3x khi x ≥ 0 và 3x = -3x khi x < 0

Vậy để giải phương trình (1) ta quy về giải hai phương trình sau:

+) Phương trình 3x = x + 6 với điều kiện x ≥ 0

Ta có: 3x = x + 6 <=> 2x = 6 <=> x = 3 (TMĐK)

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (1).

+) Phương trình -3x = x + 6 với điều kiện x < 0

Ta có -3x = x + 6 <=> -4x + 6 <=> x = -3/2 (TMĐK)

Do đó x = -3/2 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho S = {3; -3/2}

Bài 2: (1,5 điểm)

Gọi số sản phẩm theo kế hoạc tổ sản xuất là x (sản phẩm)

Điều kiện: x nguyên dương, x > 57

Thời gian dự dịnh theo kế hoạch là:

Số sản phẩm về sau là: x + 13 (sản phẩm)

Thời gian thực tế tổ sản xuất là:

Theo đề ta có phương trình:

<=> 57x - 50(x + 13) = 2850

<=> 57x - 50x - 650 = 2850

<=> 7x = 3500 <=> x = 500 (TMĐK)

Vậy theo kế hoạch tổ sản xuất là 500 sản phẩm.

Bài 3: (2 điểm)

a) Xét ΔBDC và ΔHBC có:

∠DBC = ∠BHC = 90^o

∠C chung

Suy ra ΔBDC ∼ ΔHBC (g.g)

b) Vì ΔBDC ∼ ΔHBC (chứng minh trên)

Do đó: HD = CD – HC = 25 – 9 = 16 (cm)

c) Kẻ AK ⊥ CD (K ∈ CD)

ΔAKD = ΔBHC (cạnh huyền – góc nhọn)

=> DK = CH = 9cm

ABHK là hình chữ nhật

=> AB = HK = CD - 2CH = 25 - 18 = 7(cm)

BH² = BC² - CH² (Pytago)

= 15² - 9² = 144 (cm)

=> BH = 12(cm)

Bài 4: (1 điểm)

a)AC² = AB² + BC² (Pytago)

= 10² + 10² = 200 (cm)

=> AC = 10√2(cm) => OA = 5√2(cm)

ΔSOA vuông tại O nên SO² = SA² - AO²(Pytago)

= 144 - 50 = 94 (cm)

=> SO = √94 (cm)

b) Thể tích của hình chóp là:

Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 8 (Đề 3)

Phần lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

Câu 2: (1,5 điểm)

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:

a) 14 - 3x = 5x - 6

c) (4x + 2)(2x² + 1) = 0

d) |5x - 3| = 7

Bài 2: (1,5 điểm) Một đội công nhân tham gia đắp 1 đoạn đê trong một số ngày quy định. Nếu mỗi ngày họ đắp được 40 mét thì họ hoàn thành chậm hơn dự định 2 ngày. Nếu mỗi ngày họ đắp được 50 mét thì hoàn thành công việc sớm hơn dự định 3 ngày. Tính chiều dài đoạn đê đội công nhân phải đắp?

Bài 3: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt hai cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F; đường tẳng đi qua F và song song với cạnh AB cắt BC tại D. Biết AE = 6cm, AF = 8cm và BE = 4cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng EF, FC và BC.

b) Tính diện tích hình bình hành BEFD?

Bài 4: (0,5 điểm) Cho a, b, c ∈ R thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh:

ab + bc + ca ≤ 0

Đáp án và Hướng dẫn giải

Phần lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

- Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

- Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

b) Áp dụng:

ĐKXĐ: x ≠ 0

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được:

=> 2(x² - 5) = 2x² - 5x

<=> 2x² - 10 = 2x² - 5x

<=> 5x = 10 <=> x = 2 (TMĐK)

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {2}

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

b) Áp dụng:

Vì AD là phân giác của ∠BAC nên:

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm)

a) 14 - 3x = 5x - 6 <=> -3x - 5x = -6 - 14 <=> -8x = -20 <=> x = 5/2

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {5/2}

<=> 2x + 6x = x + 6x + 3 <=> 2x - x = 3 <=> x = 3

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {3}

c) (4x + 2)(2x² + 1) = 0

<=> 4x + 2 = 0(2x² + 1 > 0)

<=> 4x = -2 <=> x = -1/2

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {-1/2}

Vậy phương trình có tập nghiệm là:

Bài 2: (1,5 điểm)

Gọi chiều dài đoạn đê là x (mét). Điều kiện x > 0

Nếu mỗi ngày đắp được 40 mét thì thời gian đắp là:

Nếu mỗi ngày đắp được 50 mét thì thời gian đắp là:

Ta có phương trình:

<=> 5x - 400 = 4x + 600

<=> 5x - 4x = 600 + 400

<=> x = 1000 (TMĐK)

Vậy chiều dài đoạn đê là 1000 mét.

Bài 3: (2,5 điểm)

a) EF² = AE² + AF² (Pytago)

= 6² + 8² = 100(cm)

=> EF = 10(cm)

Vì EF // BC nên

ΔAEF ∈ Δ ABC (g.g) nên

b) Ta có:

Bài 4: (0,5 điểm)

Ta có:

a + b + c = 0

=> (a + b + c)² = 0

=> a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 0

=> 2(ab + bc + ca) = -(a² + b² + c²)

=> ab + bc + ca = (-1/2).(a² + b² + c²) ≤ 0

Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 8 (Đề 4)

Phần lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Nêu tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

2) Áp dụng: So sánh a và b biết

a) a - 7 ≥ b - 7

b) 10 + a ≤ 10 + b

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Phát biểu định lý về tỷ số diện tích hai tam giác đồng dạng.

b) Áp dụng: Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm; 4cm; 5cm. Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là 96cm2. Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác A’B’C’ với tam giác ABC và tính độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

Bài 2: (1,5 điểm) Ở một lớp 8, khi mới nhận lớp, giáo viên chủ nhiệm định chia lớp thành 3 tổ và mỗi tổ có số học sinh như nhau. Nhưng sau đó lớp nhận thêm 3 học sinh nữa, do đó giáo viên chủ nhiệm đã chia đều số học sinh thành 4 tổ. Hỏi số học sinh lớp 8 hiện nay là bao nhiêu? Biết rằng số học sinh ở mỗi tổ hiện nay ít hơn số học sinh ở mỗi tổ lúc ban đầu là 2 học sinh.

Bài 3: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB = 8cm; AC = 14cm; BC = 20cm. Đường phân giác của góc ∠A cắt BC tại D. Qua điểm D kẻ DE song song với AB (E ∈ AC) .

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD và ED.

b) Biết diện tích ΔABC là S. Tính diện tích ΔABD theo S.

Bài 4: (0,5 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 < a < 1; 0 < b < 1; 0 < c < 1 và a + b + c = 2 . Chứng minh a² + b² + c² < 2 .

Đáp án và Hướng dẫn giải

Phần lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

1) Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

2) Áp dụng:

a) Ta có: a - 7 ≥ b - 7 <=> a - 7 + 7 ≥ b - 7 + 7

<=> a + 0 ≥ b + 0 <=> a ≥ b

b) 10 + a ≤ 10 + b <=> 10 + a + (-10) ≤ 10 + b + (-10)

<=> 0 + a ≤ 0 + b <=> a ≤ b

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

b) Giả sử AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm

Khi đó BC² = 5² = 25(cm); AB² + AC² = 3² + 4² = 25(cm)

=> BC² = AB² + AC² => ΔABC vuông tại A

Vì ΔA'B'C' đồng dạng ΔABC theo tỉ số k nên:

=> A’B’ = 12cm; A’C’ = 16cm; B’C’ = 20cmv

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm)

Vậy phương trình có tập nghiệm là S= {4/3}

ĐKXĐ: x ≠ ±1 v

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được:

=> (x + 2)(x + 1) = (x + 5)(x - 1)

<=> x² + 3x + 2 = x² + 4x - 5

<=> 3x - 4x = -5 - 5

<=> x = 7 (TMĐK)

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {-1; -4}

d) 6x + 4 < 4x - 8 <=> 6x - 4x < -8 - 4 <=> 2x < -12 <=> x < -6

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = {x | x < -6}

Bài 2: (1,5 điểm)

Gọi số học sinh lớp 8 hiện nay là x (học sinh). Điều kiện x nguyên dương, x > 3.

Số học sinh lúc đầu của lớp là x – 3 (học sinh)

Số học sinh lúc đầu ở mỗi tổ là:

Số học sinh về sau ở mỗi tổ là:

Ta có phương trình:

<=> 4(x - 3) - 3x = 24 <=> 4x - 12 - 3x = 24 <=> x - 12 = 24 <=> x = 36 (TMĐK)

Vậy số học sinh hiện nay của lớp 8 là 36 học sinh.

Bài 3: (2,5 điểm)

a) Vì AD là phân giác ∠BAC nên

b) Ta có:

Bài 4: (0,5 điểm)

Ta có 0 < a < 1 => a - 1 < 0 => a(a - 1) < 0 => a² - a < 0    (1)

Tương tự 0 < b < 1 => b² - b < 0    (2)

0 < c < 1 => c² - c < 0    (3)

Cộng theo vế (1); (2) và (3) ta có: a² + b² + c² - a - b - c < 0

=> a² + b² + c² < a + b + c => ²a² + b² + c² < 2 (vì a + b + c = 2)

Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 8 (Đề 5)

Phần lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Nêu cách giải phương trình ax + b = 0 (a ≠ 0)

b) Áp dụng: Giải phương trình -0,5x + 2,4 = 0

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Phát biểu định lý Ta-lét đảo.

b) Áp dụng: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB. Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm các đường chéo AC và BD. Chứng minh PQ // CD.

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) 2x² - 18 = 0

c) |3x - 1| = 2

d) 3 - 2x ≤ 9

Bài 2: (1,5 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 12 giờ sẽ đầy bể. Hai vòi cùng chảy được 4 giờ thì vòi thứ nhất được khóa lại và vòi thứ hai tiếp tục chảy vào bể thì trong 14 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu để mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu sẽ đầy bể nước.

Bài 3: (2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ đường cao DE của ΔACD (E ∈ AC) . Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AE và DE. Nối MN, DN và IC. Chứng minh:

a) Tứ giác MNIC là hình bình hành.

b) ΔAND ∼ ΔDIC

Bài 4: (0.5 điểm) Cho a, b, c ∈ R . Chứng minh a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Đáp án và Hướng dẫn giải

Phần lý thuyết (3 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm)

a) ax + b = 0 (a ≠ 0) <=> ax = -b <=> x = -b/a

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {-b/a}

b) Áp dụng: -0,5x + 2,4 = 0 <=> -0,5x = -2,4 <=> x = (-2,4)/(-0,5) = 4,8

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {4,8}

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Định lý Ta-lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai đoạn này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

b) Áp dụng:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AD

Ta có:

Q là trung điểm của AD (gt)

P là trung điểm của AC (gt)

Trong ΔADB có:

=> MQ // AB (Định lý Ta-lét đảo)

Trong ΔADC có:

=> MP // CD (Định lý Ta-lét đảo)

Mà AB // CD suy ra M, Q, P thẳng hàng. Do đó PQ // CD.

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm)

a) 2x² - 18 = 0

<=> 2x² = 28 <=> x² = 9 <=> x = ±3

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {±3}

ĐKXĐ: x≠ 0; x ≠ 5

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được:

Suy ra (x - 3)x - x - 5 = -x + 5

<=> x² - 3x - x - 5 + x - 5 = 0

<=> x² - 3x - 10 = 0

<=> x² + 2x - 5x - 10 = 0

<=> x(x + 2) - 5(x + 2) = 0

<=> (x + 2)(x - 5) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {-2}

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {1; -1/3}

d) 3 - 2x ≤ 9 <=> -2x ≤ 9 - 3 <=> -2x ≤ 6 <=7gt; x ≥ -3

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {x|x ≥ -3}

Bài 2: (1,5 điểm)

Gọi thời gian để vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là x (giờ)

Điều kiện x > 12

Hai vòi chảy chung được 4 giờ nên được:

Phần bể còn lại chưa có nước là:

Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được:

Trong 14 giờ vòi thứ hai chảy được:

Ta có phương trình :

Vậy vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 21 giờ.

Vòi thứ nhất trong một giờ chảy được:

Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong thời gian là:

Bài 3: (2,5 điểm)

a) Trong ΔAED có NA = NE (gt), ID = IE (gt)

Suy ra NI là đường trung bình của ΔAED

Suy ra NI // AD, NI = AD/2    (1)

Mặt khác, MC // AD và MC = BC/2 = AD/2    (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNIC là hình bình hành.

b) Ta có ∠DAE = ∠CDE (cùng phụ ∠ADE)     (3)

=> ΔAED ∼ ΔDEC (g.g)

Vì N là trung điểm của AE nên AN = AE/2

I là trung điểm của DE nên DI = DE/2

Từ (1) và (6) => ΔAND ∼ ΔDIC (c.g.c)

Bài 4: (0,5 điểm)

Ta có: (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² ≥ 0

<=> a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a² ≥ 0

<=> 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

<=> a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca