Bài 4: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Bài 30 (trang 27 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho hàm số y=f(x)=x³-3x²+1

a)Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của Phương trình f’’(x)= 0.

b)Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến vectơ OI và viết Phương trình của đường cong với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra bằng I là tâm đối xứng đường cong (C).

c)Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I đối với hện tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng (-∞;1) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng (1; +∞) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Lời giải:

f' (x)=3x²-6x

f'' (x)=6x-6;f'' (x)=0 <=> x=1 =>f (1) = -1

Vậy I(1; -1)

Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI:

Phương trình của (C) đối với hệ trục IXY là:

Y-1=(X+1)³-3(X+1)²+1 hay Y=X³-3X

Vì hàm số Y=X³-3X là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

* Tiếp tuyến với (C) tại I(1; -1) đối với hệ tọa độ Oxy là:

y=f' (1)(x-1)+f(1) với f’(1) = -3; f(1) = -1

Nên Phương trình tiếp tuyến: y-3(x-1)+(-1) hay y = -3x + 2

Xét hiệu (x³-3x²+1)-(-3x+2)=(x-1)³

Với x ∈(-∞;1)=>(x-1)³<0 nên đường cong (C): y=x³-3³+1 nằm phía dưới tiếp tuyến y = -3x + 2

Với x ∈(1; +∞)=>(x-1)³>0 nên đường cong (C): nằm phía trên tiếp tuyến tại I.