Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài ôn tập chương I

Bài 9 (trang 46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f"(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x⁴ - 6x² + 3 = m.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: f'(x) = 2x³ - 6x = 2x(x² - 3)

f'(x) = 0 ⇔ 2x(x² - 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ Giới hạn tại vô cực:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (-√3; 0) và (√3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên (-∞; -√3) và (0; √3).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (0; 3/2)

Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại (-√3; -3) và (√3; -3)

- Đồ thị:

b) Ta có: f"(x) = 6x² - 6 = 6(x² - 1)

f"(x) = 0 ⇔ 6(x² - 1) ⇔ x = ±1 => y = -1

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là:

y = f'(-1)(x + 1) - 1 => y = 4x + 3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là:

y = f'(1)(x - 1) - 1 => y = -4x + 3

c) Ta có: x⁴ - 6x² + 3 = m

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m/2.

Biện luận: Từ đồ thị:

+ m/2 < - 3 ⇔ m < -6: phương trình vô nghiệm.

+ m/2 = -3 ⇔ m = -6 : phương trình có 2 ngiệm.

+ -3 < m/2 < 3/2 ⇔ -6 < m < 3: phương trình có 4 nghiệm.

+ m/2 = 3/2 ⇔ m = 3: phương trình có 3 nghiệm.

+ m/2 > 3/2 ⇔ m > 3: phương trình có 2 nghiệm.

Vậy:

+) m < - 6 thì phương trình vô nghiệm.

+) m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

+) m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

+) – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.