1a

1b

1c)
3sin3x - √3.cos9x = 1 + 4sin³3x
Chứng mình công thức nhân 3:
sin3a = sin(a + 2a)
= sina.cos2a + cosa.sin2a
= sina.(1 - 2sin²a) + 2sina.cos²a
= sina - 2sin³a + 2sina.(1 - sin²a)
= 3sina - 4sin³a
Áp dụng công thức trên vào bài, ta có:
pt ⇔ 3sin3x - 4sin³x - √3.cos9x = 1
⇔ sin9x - √3.cos9x = 1
⇔ 1/2.sin9x - √3/2.cos9x = 1/2
⇔ sin9x.cos(π/3) - cos9x.sin(π/3) = 1/2
⇔ sin(9x - π/3) = 1/2
⇔ [ 9x - π/3 = π/6 + k2π
[ 9x - π/3 = 5π/6 + k2π (k ∈ Z)
⇔ [ x = π/18 + k2π/9
[ x = 7π/18 + k2π/9 (k ∈ Z)
Vậy...

2a)
tanx - sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1/cosx) = 0
<=> sinx/ cosx -2 sinxcosx +4cosx - 2/cosx=0
<=> sinx - 2sinxcos^2x+4cos^x-2=0
<=>(sinx-2)- 2cos^2x(sinx-2)=0
<=> (sinx-2)(1-2cos^2x)=0
vi sinx<1 => pt <=> 1-2cos^2x=0
<=>2cos^2x=1
<=>cos^2x=1/2
<=> cosx=căn 1/2
=> x= pi/4+k2pi
hoac x= -pi/4+k2pi

2b

3a)
Thay : cos 2x = 1 - 2sin^2(x)
sin2x = 2.sinx.cosx
Thay vào ta được :
9 sinx + 6cosx - 6. sinx.cosx + 1 - 2.sin^2(x) - 8 = 0
9. (sinx - 1) + 6.cosx. (1 - sinx) + 2 - 2.sin^2(x) = 0
9.(sinx - 1) + 6cosx.(1 - sinx) + 2. (1 - sinx) (1 + sinx) = 0
* TH1 : sinx = 1 => x = pi/2 + 2kpi (k thuộc Z)
* TH2 : sinx khác 1
Chia cả 2 vế cho sinx-1 ta được :
9 - 6.cosx - 2 (1 + sinx) = 0
<=> 7 - 6cosx - 2.sinx = 0
<=> 7- 4.cosx - 2. (sinx + cosx) = 0
<=>7 - 4.cosx - 2.căn2. sin(x + 45) = 0 (1)
Mà vế trái luôn > 0 với mọi x nên (1) vô nghiệm
Vậy x = pi/2 + 2kpi (k thuộc Z)

3b)
(1) <=> 2.sinx.cosx + 2.[2.(cosx)^2 - 1] = 1 + sinx - 4.cosx
<=> 2.sinx.cosx + 4.(cosx)^2 - 2 = 1 + sinx - 4.cosx
<=> sinx (2.cosx - 1) + 4.(cosx)^2 + 4.cosx - 3 = 0
<=> sinx (2.cosx - 1) + (2cosx - 1).(2cosx + 3) = 0
<=> (2.cosx - 1).(sinx + 2cosx + 3) = 0
<=> cosx = 1/2 (*)
hoặc sinx + 2cosx + 3 = 0 (**)
(*) <=> x = +(-) π/3 + k2π
(**) <=> sinx + 2cosx = - 3
<=> 1/√5.sinx + 2/√5.cosx = -3/√5
<=> sin (x + α) = - 3/√5 ( Vì - 3/√5 < - 1 )
=> (**) vô nghiệm
Vậy pt ban đầu có no : x = +(-) π/3 + k2π

4a)
2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
<=> 4sinx.cosx + 2sin²x - 1 - 7sinx - 2cosx + 4 = 0
<=> 4sinx.cosx - 2cosx + 2sin²x- 7sinx + 3 = 0
<=> 2cosx.(2sinx -1) + (2sinx -1)(sinx - 3) = 0
<=> (2sinx -1)(sinx + 2cosx - 3) = 0
<=> [ sinx = 1/2
------ [ sinx + 2cosx = 3 (vn do 1² + 2² = 5 < 3² )
<=> x = pi/6 + 2kpi hoặc x = 5pi/6 + 2kpi (k thuộc Z)
** chú ý: ptrình: asinx + bcosx = c ; đk có nghiệm là a²+b² ≥ c²

5b) 2cos^3x + cos2x + sinx = 0
<=> 2cos^3x + cos^2x - sin^2x + sinx = 0
<=> cos^2x(2cosx + 1) + sinx(1 - sinx) = 0
<=> (1 - sin^2x)(2cosx + 1) + sinx(1 - sinx) = 0
<=> (1 - sinx)(1 + sinx)(2cosx + 1) + sinx(1 - sinx) = 0
<=> (1 - sinx)[(1 + sinx)(2cosx + 1) + sinx] = 0
Vậy 1 - sinx = 0 (1)
hay (1 + sinx)(2cosx + 1) + sinx = 0 (2)
Giải (1): 1 - sinx = 0
<=> sinx = 0
<=> x = kπ
Giải (2): (1 + sinx)(2cosx + 1) + sinx = 0
<=> 2cosx + 1+ 2sinx.cosx + sinx = 0
<=> 2(sinx + cosx) + (sinx + cosx)^2 = 0
<=> (sinx + cosx)(2 + sinx + cosx) = 0
<=> sinx + cosx = 0 (3)
<=> 2 + sinx + cosx = 0 (4)
Giải (3): <=> (1 + sinx)(2cosx + 1) + sinx = 0
<=> [sin(x + π/4)] = 0
<=> x = -π/4 + kπ
Giải (4): 2 + sinx + cosx = 0
<=> (1 + sinx)(2cosx + 1) + sinx = 0
<=> [sin(x+pi/4)=- căn 2 (loại)

6a)
DK: sin2x va cos2x khac 0
<=> x ≠ kπ/4
(1-cos2x)/(sin2x)^2 = 1 / sin²2x - cos2x/sin²2x = 1 / sin²2x - cot2x / sin2x
==> bt<=> 1 + cot2x = 1 / sin²2x - cot2x / sin2x
<=> 1 / sin²2x - 1 - cot2x / sin2x - cot2x = 0
<=> cot²2x - cot2x - cot2x / sin2x = 0
<=>cot2x(cos2x/sin2x - 1 - 1/sin2x) = 0
+) voi: cot2x = 0 <=> x = π/4 + kπ/2 (k thuoc Z)
+) voi: cos2x/sin2x - 1 - 1/sin2x = 0
<=> (cos2x - sin2x - 1) = 0
<=> 1/√2cos2x - 1/√2sin2x = 1/√2
<=>sin(π/4 - 2x) = sin(π/4)
<=> π/4 - 2x = π/4 + k2π hoac π/4 - 2x = 3π/4 + k2π
<=> x = -kπ hoac x = -π/4 - kπ (k thuoc Z)
ket hop lai ta co nghiem pt: x = π/4 + kπ/2 ; x = kπ ( k thuoc Z)

6b)
4(sin^4 x + cos^4 x) + √3sin4x = 2
<=> 4[(sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2sin^2 x . cos^2 x] + √3sin4x = 2
<=> 4[1 - (1/2)sin^2 2x] + √3sin4x = 2
<=> -2sin^2 2x + √3sin4x = -2
<=> cos4x - 1 + √3sin4x = 2
<=> cos4x + √3sin4x = -1
<=> cos4x + tanpi/3.sin4x = -1
<=> cos4x.cospi/3 + sinpi/3.sin4x = -cospi/3
<=> cos(4x - pi/3) = cos(pi - pi/3) = cos(2pi/3)
=>
[4x - pi/3 = 2pi/3 + k2pi
[4x - pi/3 = -2pi/3 + k2pi
<=>
[x = pi/4 + kpi/2
[x = -pi/12 + kpi/2
với k thuộc Z

7a

7b)
pt <=> sinx/cosx - 3cosx/sinx = 4( sinx+ can3.cosx)
<=> (sin^2x - 3cos^2x)/ sinxcosx = 4(sinx+can3.cosx)
<=> (sinx+can3.cosx).(sinx - can3.cosx)/sinxcosx = 4( sinx+can3.cosx)
<=>(sinx+can3.cosx) [ (sinx-can3.cosx)/sinxcosx -4 ] = 0
<=> (sinx+can3.cosx)=0 <=> sin(x+pi/3)=0 <=> x= -pi/3 + kpi ( k thuộc Z)
(sinx - can3.cosx)/ sinxcosx -4 =0
<=> sinx - can3.cosx - 4sinxcosx = 0
<=> sinx- can3.cosx = 2sin2x
<=> sin(x-pi/3)= sin2x <=> x - pi/3=2x+k2pi
hoặc x - pi/3= pi - 2x + k2pi
<=> x= -pi/3+ k2pi hoặc x= 4pi/9+ k2pi/3

10n)
4sin2x - 3cos2x = 3( 4sinx - 1 )
<=> 8sinxcosx - 3(1 - 2sin²x) = 12sinx - 3
<=> 8sinxcosx - 3 + 6sin²x = 12sinx - 3
<=> 6sin²x + 8sinxcosx - 12sinx = 0
<=> 2sinx( 3sinx + 4cosx - 6 ) = 0
<=> sinx = 0
<=> 3sinx + 4cosx - 6 = 0
<=> x = kπ ( k thuộc Z )
<=> 3sinx + 4cosx = 6
Chia vế pt cho 5
<=> 3/5.sinx + 4/5.cosx = 6/5
Biến đổi cosα = 3/5 ; sinα = 4/5
<=> cosα.sinx + sinα.cosx = 6/5
<=> sin(α + x) = 6/5 ( Loại vì 6/5 nằm ngoài khoảng [-1 ; 1] của sin )