Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số

Phương pháp giải

Khi xác định tính chẵn, lẻ của hàm số y = f (x), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

- Nếu D không là tập đối xứng, nghĩa là ∃x ∈ D sao cho – x ∉ D thì ta kết luận ngay hàm số y = f(x) không chẵn, không lẻ.

- Nếu D là tập đối xứng thì ta thực hiện tiếp bước 2.

Bước 2:

- Nếu f (- x) = f (x) với mọi x ∈ D thì hàm số y = f (x) là hàm số chẵn.

- Nếu f (- x) = - f (x) với mọi x ∈ D thì hàm số y = f (x) là hàm số lẻ.

- Nếu ∃x ∈ D mà f (- x) ≠ f (x) (f (- x) ≠ - f (x)) thì hàm số y = f (x) là hàm không chẵn (không lẻ).

Chú ý. Khi xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ta cần lưu ý:

- ∀x ∈ R, sin( - x) = - sinx;

- ∀x ∈ R, cos( - x) = cosx;

- ∀x ∈ R\ {π/2+kπ, k ∈ Z}, tan ( - x) = - tanx;

- ∀x ∈ R\ {kπ, k ∈ Z}, cot( - x) = - cotx.

Bài tập minh họa có giải

Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây không phải làm hàm số lẻ?

A. y = sinx

B. y = cosx

C. y = tanx

D. y = cotx

Lời giải:

Do cos ( -x) = cosx với mọi x ∈ R nên y = cosx không là hàm lẻ. Do đó đáp án là B.

Ví dụ 2: Hàm số y =sinxcosx là

A. Hàm không có tính chẵn, lẻ

B. Hàm chẵn

C. Hàm có giá trị lớn nhất bằng 1

D. Hàm lẻ.

Lời giải:

Kí hiệu f(x) = sinxcosx. Hàm số có tập xác định D = R.

∀x ∈ D thì –x ∈ D và f( -x) = sin(-x)cos(-x) = - sinxcosx = - f(x).

Vậy y = sinxcosx là hàm số lẻ. Đáp án là D.