Lý thuyết Bài 2: Cực trị của hàm số

Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (a;b) và x₀ ∈ (a; b)

• Nếu tồn tại h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) và ∀x ∈(x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói f đạt cực đại tại x₀.

• Nếu tồn tại h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) và ∀x ∈(x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói f đạt cực tiểu tại x₀.

Khi đó:

+ x₀ là điểm cực trị của hàm số.

+ f(x₀) là giá trị cực trị của hàm số.

+ M(x₀, f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị

Điều kiện cần. Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại x₀ và hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ thì f'(x₀)= 0 .

Ghi chú: Hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm.

Điều kiện đủ. Giả sử hàm số f(x) xác định trên (a; b) và x₀ ∈ (a; b)

Định lí 1: Nếu f(x) có đạo hàm trên (a; b)\{x₀} và với h > 0 sao cho (x₀ - h; x₀ + h) ⊂ (a; b) ta có

=> x₀ là điểm cực đại của hàm số.

=> x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.

Định lí 2: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a;b)

=> x₀ là điểm cực đại của hàm số.

=> x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.