Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng.
Động năng ban đầu Eđo = m(vo)²/2 = 3mgℓ/2
Ở vị trí dây treo nằm ngang, thế năng có giá trị mgℓ < 3mgℓ/2.
Do đó, với động năng ban đầu như vậy, quả cầu có khả năng vượt qua vị trí dây treo nằm ngang và lên cao hơn.
Xét một thời điểm nào đó, khi quả cầu đã vượt qua vị trí dây treo nằm ngang.
Lúc này góc giữa dây với phương ngang là α, vận tốc quả cầu là v
Cơ năng: E = mv²/2 + mgℓ(1+sinα)
Bảo toàn cơ năng: E = Eđo ⇒ mv²/2 + mgℓ(1+sinα) = 3mgℓ/2
⇒ v² = gℓ(1 - 2sinα)
Phương trình định luật II Newton:
↑P + ↑T = m.↑a
Chiếu lên trục hướng tâm:
mgsinα + T = m.a(ht)
Với a(ht) là gia tốc hướng tâm, a(ht) = v²/ℓ = g(1 - 2sinα)
⇒ T = mg(1 - 3sinα)
Khi dây treo bắt đầu chùng thì T = mg(1 - 3sinα) = 0
⇒ sinα = 1/3
Lúc này vận tốc của quả cầu v² = gℓ(1 - 2sinα) = gℓ/3
⇒ v = √(gℓ/3)
Độ cao đạt được lúc này: h1 = ℓ(1 + sinα) = 4ℓ/3
Vận tốc quả cầu hợp với phương ngang một góc β = π/2 - α
⇒ cosβ = sinα = 1/3
⇒ sinβ = (2√2)/3
Quả cầu tiếp tục tham gia chuyển động ném xiên với vận tốc đầu v = √(gℓ/3) hợp với phương ngang một góc β, với sinβ = (2√2)/3
Vận tốc theo phương thẳng đứng: v' = v.sinβ = [2√(2gℓ/3)]/3 =
Độ cao lớn nhất mà quả cầu đạt được trong chuyển động này là:
h' = v' ²/2g = 4ℓ/27
Độ cao lớn nhất đạt được trong cả quá trình chuyển động:
Ho = h + h' = 4ℓ/3 + 4ℓ/27 = 40ℓ/27