Ta có: 1 + 2 + 3 + ... + bc = abc
Đây là tổng của dãy số cách đều có khoảng cách là 1, số số hạng là bc . Tổng của dãy số này là :
( 1 + bc ) x bc : 2 = abc
( 1 + bc ) x bc = 2 x abc
( 1 + bc ) x bc = 2 x ( a x 100 + bc )
( 1 + bc ) x bc - 2 x bc = a x 2 x 100
( bc - 1 ) x bc = a x 2 x 100
( bc - 1 ) x bc là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, nên một thừa số là số chẵn, một thừa số là số lẻ.
a x 2 x 100 = a x 4 x 50 = a x 8 x 25 = a x 10 x 20 = a x 20 x 10.
Tích ba số tự nhiên là số lẻ thì ít nhất hai trong ba số phải là số lẻ.
Trong các tích trên, thì chỉ có thừa số 25 là thừa số lẻ, suy ra chỉ có a x 8 x 25 là đáp ứng được điều kiện tích của 2 số tự nhiên liên tiếp với a x 8 = 24, suy ra a = 3. Vậy số abc = 325

Ta có: 1+2+3+...+bc=abc (0 < a ≤9 và 0≤b,c ≤9)
<=> bc(bc+1)2 =abc
<=> bc(bc+1)=2.abc
<=> bc.bc+bc=2(100a+bc)
<=> bc.bc+bc=200a+2bc
<=> bc(bc-1)=200a
Nhận xét: Vế phải là 200a => Số tận cùng là 0. Vậy vế trái bc.(bc-1) cũng phải có tận cùng là 0 và phải chia hết cho 100.
Có các trường hợp: c=0, c=1, c=5 và c=6. Xét từng trường hợp, có:
+/ TH1: Với c=0 => b0(b0-1)=200a
<=> 10b(10b-1)=200a
<=> b(10b-1)=20a. Không có giá trị của b thỏa mãn để: b(10b-1)⋮10 => Loại
+/ TH2: Với c=1 => b1(b1-1)=200a
<=> (10b+1).10b=200a
<=> b(10b+1)=20a. Không có giá trị của b thỏa mãn để: b(10b+1)⋮10 => Loại
+/ TH3: Với c=5 => b5(b5-1)=200a
<=> b4.b5=200a
Nhận thấy: b4 và b5 là 2 số tự nhiên liên tiếp. Để tích của chúng có 2 chữ số tận cùng là 0. Ta chọn được duy nhất b=2 (Do 24.25=600) => 24.25=200a => a=3 (nhận)
+/ TH4: Với c=6 => b6.b5=200a
Nhận thấy: b5 và b6 là 2 số tự nhiên liên tiếp. Để tích của chúng có 2 chữ số tận cùng là 0. Ta chọn được duy nhất b=7 (Do 75.76=5700) <=> 75.76=200a => a=28,5 (Loại)
Vậy cặp số duy nhất thỏa mãn là: a=3, b=2, c=5
Biểu thức đã cho có dạng: 1+2+3+...+25=325
Đáp số: Số cần tìm abc=325

1 + 2 + 3 + ... + n + bc = abc
S = 1 + 2 + 3 + ... n là số có 3 chữ số và chia hết cho 100
=> n(n+1)/2 là số có 3 chữ số và chia hết cho 100
Thử kết quả từ 100~900
Với S = 100: n2 + n = 200
=> n không nguyên
Với S = 200: n2 + n = 400
=> n không nguyên
Với S = 300: n2 + n = 600
=> n = 24 (loại nghiệm n = -25)
Với S = 400: n2 + n = 800
=> n không nguyên
Với S = 500: n2 + n = 1000
=> n không nguyên
Với S = 600: n2 + n = 1200
=> n không nguyên
Với S = 700: n2 + n = 1400
=> n không nguyên
Với S = 800: n2 + n = 1600
=> n không nguyên
Với S = 900: n2 + n = 1800
=> n không nguyên Vậy, n =24
=> a = 3
=> bc = 25
Vậy, abc = 325

1+2+..+bc=bc(bc+1)/2
=>bc(bc+1)=2.abc
bc^2+bc=2.abc
=>bc^2-bc=2.a00
=>bc(bc-1)=2.a00
a00 có số cuối là 0
=>bc(bc-1) có số cuối là 0
=>c=1 hoạc c=0 hoạc c=6 hoạc c=5
+với c=1 ta có b1.b0=2.a00
VT không chia hết 100 loại
+c=0 ta có b0.(b-1)9=2.a00
tuong tự loại
+c=6 ta có b6.b5=2.a00
=>b=7=>thay vào loại
+c=5 ta có b5.b4=2.a00
=>b=2 =>a=3
vậy a=3 b=2 và c=5
Vậy abc=325