2
Ta chia thành 2 trường hợp : 
a)y^2+y=x^4+x^3+x^2+x=0 (1) 
...(1)<=>y(y+1)=x(x^3+x^2+x+1)=0 
...Pt này có 4 nghiệm sau 
...x1=0; y1=0 
...x2=0; y2= -1 
...x3= -1; y3=0 
...x4= -1; y4= -1 
b)y^2+y=x^4+x^3+x^2+x (# 0) (2) 
...ĐK để 2 vế khác 0 là x và y đều phải khác 0 và -1.Với ĐK đó thì 
...(2)<=>y(y+1)=(x^2)(x^2+x+1+1/x) 
...Đến đây lại chia 2 th : 
...+{y=x^2 
.....{x+1+1/x=1 (3) 
.....(3) vô nghiệm =>th này vô nghiệm 
...+{y+1=x^2 
.....{x+1+1/x= -1 
....=>x= -1; y=0 (theo ĐK ở trên nghiệm này phải loại) 
...Vậy khi y^2+y=x^4+x^3+x^2+x # 0 thì pt vô nghiệm 
Tóm lại pt đã cho có 4 nghiệm 
x1=0; y1=0 
x2=0; y2= -1 
x3= -1; y3=0 
x4= -1; y4= -1

c
Ta có : 
(x+3).(y-1)=3=1.3=3.1=(-1).(-3)=(-3).(-... 
+ Với x+3=1 thì x=-2 và y-1=3 thì y=4 
+ Với x+3=3 thì x=0 và y-1=1 thì y=2 
+ Với x+3=-1 thì x=-4 và y-1=-3 thì y=-2 
+ Với x+3=-3 thì x=-6 và y-1=-1 thì y=0 
Vậy Các các cặp (x,y) thỏa mãn là : (-2;4),(0;2),(-4;-2),(-6;0)

a
3xy + x – y = 1 
<=> x=(y+1)/(3y+1) 
Mà: 
với mọi y >0, y ∈ Z,ta có: 0 < (y+1) < (3y+1) 
=> 0<(y+1)/(3y+1)<1 
=> phương trình vô nghiệm với mọi y >0, y ∈ Z 
với mọi y < 0, y ∈ Z,ta có: 0 >= (y+1) > (3y+1) 
=>0<=(y+1)/(3y+1)<1 
=> y=-1, x= 0 là nghiệm 
với y=0 ta có x=1 
kết luận: nghiệm phương trình (-1;0),(0;1)

x;y thuộc z nên x+3 và y-1 cũng thuộc z do đó x+3 và y-1 đều là ước của 3 suy ra 
x+3=3 và y-1=1 hay x=0 và y=2 
hoặc x+3=1 và y-1=3 hay x=-2 và y-4 
hoặc x+3=-1 và y-1=-3 hay x=-4 và y=-2 
hoặc x+3=-3 và y-1=-1 hay x=-6 và y=0

a) 3xy + x - y = 1
<=> 3xy + x - y - 1 = 0
Vì x,y ∈ Z => 3xy ∈ Z
=> 3xy + x - y - 1 = 0 
<=> 3xy = 0
và x - y - 1 = 0
Giải hệ hai phương trình ta được :
TH1 : x = 0 => y =  -1 
TH2 : y = 0 => x = 1 
Vậy phương trình có nghiệm (x,y) ∈ {(0,-1),(1,0)}
b) y^2 + y = x^4 + x^3 + x^2 + x
Chia thành 2 trường hợp : 
TH1: y^2 + y = x^4 + x^3 + x^2 + x = 0 (1) 
(1)<=>y(y + 1) = x(x^3 + x^2 + x + 1) = 0 
Phương trình này có 4 nghiệm sau 
x1 = 0; y1 = 0 
x2 = 0; y2 = -1 
x3 = -1; y3 = 0 
x4 = -1; y4 = -1 
TH2: y^2 + y = x^4 + x^3 + x^2 + x (≠ 0) (2) 
Điều kiện để 2 vế khác 0 là x và y đều phải khác 0 và -1
Với x,y ≠ 0,-1 thi
(2)<=>y(y + 1) = x^2(x^2 + x + 1 + 1/x) 
Đến đây lại chia 2 trường hợp
TH1/ y = x^2 
và x + 1 + 1/x = 1 (3) 
(3) vô nghiệm =>trường hợp này vô nghiệm 
TH2/ y + 1 = x^2 
và x + 1 + 1/x = -1 
=>x = -1; y = 0 (KTMĐK)
Vậy khi y^2 + y = x^4 + x^3 + x^2 + x ≠ 0 thì pt vô nghiệm 
Vậy phương trình có 4 nghiệm
x1 = 0; y1 = 0 
x2 = 0; y2 = -1 
x3 = -1; y3 = 0 
c) (x + 3)(y - 1) = 3
Vì x,y ∈ Z => x + 3 ∈ Z
và y - 1 ∈ Z
=> (x + 3)(y - 1) = 3.1 = 1.3 = -3.(-1) = -1.(-3)
TH1: x + 3 = 3 và y - 1 = 1 <=> x = 0 và y = 2  (TM)
TH1: x + 3 = 1 và y - 1 = 3 <=> x = -2 và y = 4  (TM)
TH1: x + 3 = -3 và y - 1 = -1 <=> x = -6 và y = 0 (TM)
TH1: x + 3 = -1 và y - 1 = -3 <=> x = -4 và y = -2  (TM)
Vậy phương trình có nghiệm (x,y) ∈ {(0,2),(-2,4),(-6,0),(-4,-2)}