Ta sẽ chứng minh công thức tổng quát 1^2 + 2^2 + 3^2 +......+ n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức: (k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 với k lần lượt là 1,2,3,...,n
Ta có:
2^3 = (1 + 1)^3 = 1^3 + 3.1^2 + 3.1 + 1
3^3 = (2 + 1)^3 = 2^3 + 3.2^2 + 3.2 + 1
4^3 = (3 + 1)^3 = 3^3 + 3.3^2 + 3.3 + 1
........................................
(n + 1)^3 = (n + 1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3.n + 1
Cộng vế theo vế và rút gọn, ta có:
(n + 1)^3 = 1^3 + 3(1^2 + 2^2 + 3^2 +........+ n^2) + 3n(n + 1)/2 + n
<=> 3(1^2 + 2^2 + 3^2 +........+ n^2) = (n + 1)^3 − 1 − 3n(n + 1)/2 −n
<=> 3(1^2 + 2^2 + 3^2 +........+ n^2) = (2(n + 1)^3 − 3n(n + 1) - 2n - 2)/2
<=> 1^2 + 2^2 + 3^2 +........+ n^2 = (2(n + 1)^3 − 3n(n + 1) - 2n - 2)/6
<=> 1^2 + 2^2 + 3^2 +........+ n^2 = (2n^3 + 3n^2 + n)/6
<=> 1^2 + 2^2 + 3^2 +........+ n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6