Số tự nhiên là gì?

Số tự nhiên là một số nguyên dương (1, 2, 3, 4,...) hoặc là một số nguyên không âm (0, 1, 2, 3, 4,...) (trong toán học). Nhìn chung, định nghĩa đầu thường được dùng trong lý thuyết số, trong khi định nghĩa sau được thích dùng hơn trong lý thuyết tập hợp và khoa học máy tính.

Trong tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam, số tự nhiên được định nghĩa theo kiểu là số nguyên không âm.

Số tự nhiên được dùng với hai mục đích chính: chúng có thể được dùng để đếm, và có thể dùng để sắp xếp thứ bậc.


Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....).

Các tính chất của số tự nhiên liên hệ đến tính chia hết, chẳng hạn như sự phân bố của các số nguyên tố, được nghiên cứu trong ngành lý thuyết số. Các vấn đề liên quan đến sự đếm, chẳng hạn lý thuyết Ramsey, được nghiên cứu trong toán tổ hợp.

Lịch sử số tự nhiên và vai trò của số 0
Người ta cho rằng số tự nhiên bắt nguồn từ các từ dùng để đếm sự vật, và bắt đầu bằng số một.

Một bước tiến quan trọng đầu tiên là con người bắt đầu biết trừu tượng hóa việc biểu diễn các số bằng các chữ số. Điều này đã cho phép con người phát triển các hệ thống nhằm ghi lại các số lớn. Ví dụ, người Babylon phát triển một hệ thống giá trị theo vị trí rất hữu dụng mà chủ yếu dựa trên biểu diễn số ban đầu cho 1 và 10. Người Ai Cập cổ đại có một hệ thống chữ số với các chữ tượng hình để diễn tả 1, 10, và tất cả các lũy thừa của 10 cho đến một triệu. Một mẫu đá khắc thu được từ Karnak, xác định niên đại khoảng 1500 TCN, và hiện nay đang được lưu trữ tại viện Bảo tàng Louvre ở Paris, thể hiện số 276 như là 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; và cũng thể hiện tương tự với số 4.622.

Một tiến bộ nữa trong việc trừu tượng hóa con số nhưng diễn ra trễ hơn nhiều: phát triển ý tưởng thể hiện số không như là một con số với biểu diễn số của riêng nó. Vào khoảng 700 TCN, những người Babylon đã dùng chữ số không trong hệ thống ký hiệu giá trị theo vị trí nhưng một điều khá lạ là mãi cho đến lúc nền văn hóa Babylon đến hồi suy tàn, người Babylon cũng chỉ biết dùng chữ số không ở giữa các con số (ví dụ: khi viết số 3605 họ biết đặt chữ số không vào giữa), và chữ số này vẫn chưa bao giờ được sử dụng để làm chữ số cuối cùng của một số (ví dụ: người Babylon thể hiện số 3600 và 60 như nhau - người Babylon dùng hệ cơ số 60 - để phân biệt đâu là 3600 và 60 họ phải kèm thêm một chú thích bằng lời ở dưới). Các nền văn minh Olmec và Maya đã dùng số không như là một con số riêng từ khoảng thế kỷ thứ 1 trước Công Nguyên (dường như được phát triển một cách độc lập), tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến ra ngoài vùng Trung Mỹ. Khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng xuất phát từ nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta vào năm 628. Mặc dầu số không đã được dùng như một con số bởi tất cả các nhà tính toán thời Trung Cổ (dùng để tính ngày Phục Sinh) mà khởi đầu là Dionysius Exiguus vào năm 525, nhưng nhìn chung vẫn không có một chữ số La Mã nào được dành riêng để viết số không. Thay vì vậy, thời đó người ta dùng từ Latinh là nullae, có nghĩa là "không có gì" để chỉ số không.

Người ta thường xem các nhà triết học Hy Lạp Pythagore và Archimedes là những người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu một cách hệ thống về các con số như là một thực thể trừu tượng. Tuy nhiên, cùng thời kỳ đó, một số nơi như Ấn Độ, Trung Quốc và Trung Mỹ cũng có những nghiên cứu độc lập tương tự.

Đến thế kỷ 19, một định nghĩa mang tính lý thuyết tập hợp của số tự nhiên đã xuất hiện và phát triển. Với kiểu định nghĩa như vậy, việc gộp cả số không (ứng với tập rỗng) vào trong số tự nhiên đã trở nên thuận tiện hơn. Ưu điểm này được các nhà lý thuyết tập hợp, nhà luận lý học và nhà khoa học máy tính sử dụng về sau. Các nhà toán học khác, chủ yếu là các nhà lý thuyết số, lại thích dùng định nghĩa cổ điển hơn và không gộp số không vào trong số tự nhiên.

Giáo sư toán học của Đại học Quốc gia Singapore Lam Lay Yong thì cho rằng người Trung Quốc biết đến sử dụng con số để đếm từ khoảng năm 475 TCN thông qua phát hiện việc sử dụng các bó que để làm phép tính thời kỳ này.

Ký hiệu
Các nhà toán học dùng ký hiệu N hay cho tập hợp tất cả các số tự nhiên. Theo định nghĩa, tập hợp này vô hạn và đếm được.

Để không bị nhầm lẫn về việc tập hợp số tự nhiên có số không hay không, đôi khi người ta dùng thêm chỉ số dưới "0" để ám chỉ là có chứa số không, và chỉ số trên "*" để ám chỉ không chứa số không

N₀ = { 0, 1, 2,... }; N* = { 1, 2,... }.

(Đôi khi một số tác giả dùng chỉ số dưới hoặc chỉ số trên "+" để ám chỉ khái niệm "dương" của số tự nhiên, tức là N+ hay N+ = { 1, 2,... }. Thế nhưng, cần thận trọng với ký hiệu kiểu này, vì trong một số trường hợp khác, ít nhất là đối với trường phái toán châu Âu, ký hiệu này lại ám chỉ cho khái niệm "không âm", lấy ví dụ: R+ = [0,∞) hay Z+ = { 0, 1, 2,... }. Trong khi đó, ký hiệu * là chuẩn mực dùng cho khái niệm "khác số không" hay tổng quát hơn là dùng cho một phần tử có thể nghịch đảo được. Tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam, cũng dùng ký hiệu N*.

Các nhà lý thuyết tập hợp thường ký hiệu tập hợp tất cả các số tự nhiên là ω. Nếu ký hiệu này được dùng thì hiển nhiên đây là tập số tự nhiên có bao gồm số không.

Định nghĩa hình thức
Trong lịch sử, quá trình đưa ra một định nghĩa toán học chính xác về số tự nhiên là một quá trình nhiều khó khăn. Các định đề Peano đưa ra những điều kiện tiên quyết cho một định nghĩa thành công về số tự nhiên. Một số phép xây dựng cho thấy rằng, với lý thuyết tập hợp đã biết, các mô hình của các định đề Peano chắc chắn tồn tại.

Các tiên đề Peano
- Có một số tự nhiên 0
- Với mọi số tự nhiên a, tồn tại một số tự nhiên liền sau, ký hiệu là S(a).
- Không có số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.
- Hai số tự nhiên khác nhau phải có hai số liền sau tương ứng khác nhau: nếu a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).
- Nếu có một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và chúng ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên thỏa tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa tính chất đó, khi đó, tính chất đó được thỏa mãn với mọi số tự nhiên. (Định đề này đảm bảo rằng phép quy nạp toán học là đúng.)

Cần lưu ý rằng "0" ở định nghĩa trên không nhất thiết phải là số không mà chúng ta vẫn thường nói đến. "0" ở đây chẳng qua là một đối tượng nào đó mà khi kết hợp với một hàm liền sau nào đó thì sẽ thỏa mãn các tiên đề Peano. Có nhiều hệ thống thỏa mãn các tiên đề này, trong đó có các số tự nhiên (bắt đầu bằng số không hay bằng số một).

Xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp
Phép xây dựng chuẩn
Trong lý thuyết tập hợp có một phép xây dựng chuẩn dùng để xác định số tự nhiên như sau:

Chúng ta định nghĩa 0:= { }

và định nghĩa S(a) = a U {a} với mọi a.

Sau đó tập hợp số tự nhiên được định nghĩa là giao của tất cả các tập hợp chứa 0 mà là các tập đóng đối với hàm liền sau.

Nếu chúng ta thừa nhận tiên đề về tính vô hạn thì sẽ chứng minh được định nghĩa này thỏa mãn các tiên đề Peano.

Mỗi số tự nhiên khi đó bằng tập hợp của các số tự nhiên nhỏ hơn nó, sao cho:

• 0 = { }
• 1 = {0} = {{ }}
• 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
• 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}

và vân vân. Khi ta thấy một số tự nhiên được dùng như là một tập hợp, thì thông thường, ý nghĩa của nó như được trình bày ở trên. Theo định nghĩa đó, có đúng n phần tử (theo nghĩa thông thường) trong tập n và n≤m (cũng theo nghĩa bình thường) khi và chỉ khi n là một tập con của m.

Cũng từ định nghĩa này, những cách hiểu khác nhau về các ký hiệu như Rⁿ (là một n-tuple hay là một ánh xạ từ n vào R) trở nên tương đương nhau.

Các phép xây dựng khác

Mặc dầu phép xây dựng chuẩn là thông dụng, nó không phải là phép xây dựng duy nhất. Ví dụ:

có thể định nghĩa 0 = { }

và S(a) = a,

tạo ra

• 0 = { }
• 1 = {0} = {{ }}
• 2 = {1} = {{{ }}}, vv..

Hay chúng ta có thể định nghĩa 0 = {{ }}

và S(a) = a U {a}

tạo ra

• 0 = {{ }}
• 1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
• 2 = {{ }, 0, 1}, v.v..

Có thể vẫn còn tranh cãi, nhưng nhìn chung người ta thường gán định nghĩa có tính lý thuyết tập hợp xưa nhất về số tự nhiên cho Frege và Russell. Trong định nghĩa của hai người này thì mỗi số tự nhiên n cụ thể được định nghĩa là tập hợp của tất cả các tập có n phần tử.

Frege và Rusell bắt đầu bằng cách định nghĩa 0 là (rõ ràng đây là tập của tất cả các tập có 0 phần tử) và định nghĩa (với A là một tập bất kỳ) là . Như vậy 0 sẽ là tập của tất cả các tập có 0 phần tử, sẽ là tập của tất cả các tập có một phần tử, sẽ là tập của tất cả các tập có 2 phần tử, và cứ thế. Sau đó, tập hợp của tất cả các số tự nhiên được định nghĩa như là phần giao của tất cả các tập có chứa 0 và là tập đóng với phép (tức là nếu tập này chứa phần tử n thì nó cũng phải chứa ).

Định nghĩa này sẽ không dùng được trong những hệ thống thông thường của lý thuyết tập hợp tiên đề vì những tập được tạo ra như vậy quá lớn (nó sẽ không dùng được trong bất kỳ lý thuyết tập hợp nào với tiên đề tách - separation axiom); nhưng định nghĩa này sẽ làm việc được trong Cơ sở Mới (New Foundations) (và trong các hệ thống tương thích với Cơ sở Mới) và trong một vài hệ thống của lý thuyết kiểu.

Trong phần còn lại của bài này, chúng ta sử dụng phép xây dựng chuẩn đã mô tả ở trên.

Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên
Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên có thể định nghĩa nhờ phép đệ quy như sau

Phép cộng

1. a + 0 = a
2. a + S(b) = S(a) + b

Phép cộng này khiến (N,+) trở thành một vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là 0, cũng là một vị nhóm tự do với một hệ sinh nào đó. Vị nhóm thỏa tính chất khử và do đó có thể được nhúng trong một nhóm. Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên là số nguyên.

Nếu chúng ta ký hiệu S(0) là 1, khi đó S(b) = S(b+0) = b + 1; tức là, số liền sau của b chẳng qua là b + 1.

Phép nhân
Tương tự như phép cộng, chúng ta định nghĩa phép nhân × như sau

1. a×0 = 0
2. a×S(b) = (a×b) + a.

Phép nhân được định nghĩa như vậy khiến (N,×) trở thành một vị nhóm với phần tử trung lập là 1; một hệ sinh của vị nhóm này chính là tập hợp các số nguyên tố.

Phép cộng và phép nhân thỏa tính chất phân phối: a×(b + c) = (a×b) + (a×c).

Các tính chất mà phép cộng và phép nhân thỏa khiến tập số tự nhiên trở thành một trường hợp ví dụ của nửa vành giao hoán. Nửa vành là dạng tổng quát hóa đại số của số tự nhiên mà trong đó phép nhân không cần phải thỏa tính giao hoán.

Nếu chúng ta hiểu tập hợp số tự nhiên theo nghĩa "không có số 0" và "bắt đầu bằng số 1" thì các định nghĩa về phép + và × cũng vẫn thế, ngoại trừ sửa lại a + 1 = S(a) và a×1 = a.

Trong phần còn lại của bài này, chúng ta viết a.b để ám chỉ tích a×b, và chúng ta cũng sẽ thừa nhận quy định về thứ tự thực hiện các phép toán.

Quan hệ thứ tự
Hơn nữa, chúng ta có thể định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập số tự nhiên như sau:

Với hai số tự nhiên a,b, ta có a ≤ b nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên c sao cho a + c = b.

Kiểu sắp thứ tự này cùng với các phép toán số học đã định nghĩa ở trên cho ta:

Nếu a, b và c là các số tự nhiên và a ≤ b, thì a + c ≤ b + c và a c ≤b c.

Tập số tự nhiên còn có một tính chất quan trọng nữa là chúng là tập sắp tốt: mọi tập không rỗng của các số tự nhiên phải có một phần tử nhỏ nhất.

Phép chia có dư và tính chia hết

Cho hai số tự nhiên a,b, ngoài ra b≠0. Xét tập hơp M các số tự nhiên p sao cho p.b ≤ a. Tập này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần tử lớn nhất của M là q. Khi đó b q ≤ a và b(q+1)>a. Đặt r=a-b.q. Khi đó ta có

a=b.q+r, trong đó 0 ≤ r< b.

Có thể chứng minh rằng các số q và r là duy nhất. Số q được gọi là thương hụt (hay vắn tắt là thương), số r được gọi là số dư khi chia a cho b. Nếu r =0 thì a=b.q. Khi đó ta nói rằng a chia hết cho b hay b chia hết a. Khi đó ta cũng nói rằng b là ước của a, a là bội của b.

Tổng quát hóa

Với hai hướng sử dụng như đã nêu ở phần giới thiệu, số tự nhiên trước hết được tổng quát hóa theo hai hướng sử dụng này: số thứ tự được dùng để mô tả vị trí của một phần tử trong một dãy sắp thứ tự và bản số dùng để xác định kích thước của một tập hợp nào đó.

Trong trường hợp dãy hữu hạn hay tập hợp hữu hạn, cả hai cách sử dụng này thực chất là đồng nhất với nhau.

Các tập hợp số

: Tập hợp số tự nhiên.
: Tập hợp số nguyên.
: Tập hợp số hữu tỉ.
= : Tập hợp số vô tỉ.
: Tập hợp số thực.


Tập hợp số thực

Số tự nhiên là một số nguyên dương (1, 2, 3, 4,...) hoặc là một số nguyên không âm (0, 1, 2, 3, 4,...)