Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a2 . Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB', A'C sao cho AMAB'=A'NA'C=13 . Tính thể tích V của khối BMNC'C.

Đáp án B

Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật ABB'A'  và AA'C'C  .

Ta có: AMAB'=13⇒AMAG=23  (do G là trung điểm AB' ).

Xét tam giác ABA'  có AG là trung tuyến và AMAG=23 .

Suy ra M là trọng tâm tam giác ABA' .

Do đó BM đi qua trung điểm I của AA'  .

Ta có: A'NA'C=13⇒A'NA'K=23  (do K là trung điểm A'C ).

Xét tam giác AA'C   có A'K là trung tuyến và A'NA'K=23  , suy ra N là trọng tâm của tam giác .

Do đó C'N đi qua trung điểm I của AA'  .

Từ M là trọng tâm tam giác ABA' và N trọng tâm của tam giác AA'C, suy ra: IMIB=INIC'=13  .

Gọi V1, V2  lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; .

Ta có: V1V2=IMIB.INIC'.ICIC=19 .

Mà V1+V=V2⇒V=89V2 .

Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC.

Ta được AH vuông góc với mặt phẳng ,  song song với mặt phẳng  nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng  bằng khoảng cách từ A đến  và bằng AH.

Ta có: AH=a32, V2=13dI;(BB'C'C).SΔBCC'=13.a32.a222=a3612 .

Suy ra:V=89V2=2a3627 .