Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z,1z và z+1z . Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của z+1z2 bằng

Đáp án B

Ta có OA=z, AB=1z−z, BC=z+1z−1z=z, OC=z+1z .

Vì OABC là một hình bình hành nên OA=BCAB=OC⇔z=z1z−z=z+1z⇔1z−z=z+1z⇔1−z2z=1+z2z⇔1−z2=1+z2

Đặt z=x+yi⇒z2=x2−y2+2xyi  vậy điều kiện trở thành: 1−z2=1+z2⇔x2−y2−1+2xyi=x2−y2+1+2xyi

⇔x2−y2−12+4x2y2=x2−y2+12+4x2y2⇔x2−y2−12=x2−y2+12.

⇔x2−y2−1=x2−y2+1x2−y2−1=−x2−y2+1⇔x2−y2=0⇔y2=x2Khi đó z+1z2=1+z2z2=x2−y2+1+2xyix+yi2=x2−y2+12+4x2y2x2+y2

=2x2+12x2≥22x2.12x2=2

Dấu bằng xảy ra tại 2x2=12x2y2=x2x>0⇔x;y=12;−12,12;12