Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0;+∞). Biết f(1) = 1 và xf'(2x−1)−f(2x−1)=x3  ∀x∈(0;+∞). Giá trị ∫13f(x)dx bằng

xf'(2x−1)−f(2x−1)=x3 (1). Đặt t=2x−1⇔x=t+12, đẳng thức (1) thành

t+12f'(t)−f(t)=t+123⇔1(t+1)2f'(t)−2(t+1)3f(t)=14⇔1(t+1)2f(t)'=14

Như vậy ta có 1(x+1)2f(x)'=14. (2)

Lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức (2) ta được

∫1(x+1)2f(x)'dx=∫14dx⇔1(x+1)2f(x)=14x+C

Lại có f(1) = 1 => C = 0. Do đó f(x)=x(x+1)24