Cho phương trình \[{\log _3}\frac{{2{x^2} - x + m}}{{{x^2} + 1}} = {x^2} + x + 4 - m.\] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 2018;2018} \right]\] để phương trình có hai nghiệm trái dấu?

Đáp án D

ĐK: \(2{{\rm{x}}^2} - x + m > 0\).

Ta có: PT \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x + m} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right) = - \left( {2{{\rm{x}}^2} - x + m} \right) + 3\left( {{x^2} + 1} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x + m} \right) - {\log _3}\left[ {3\left( {{x^2} + 1} \right)} \right] = - \left( {2{{\rm{x}}^2} - x + m} \right) + 3\left( {{x^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x + m} \right) + \left( {2{{\rm{x}}^2} - x + m} \right) = {\log _3}\left[ {3\left( {{x^2} + 1} \right)} \right] + 3\left( {{x^2} + 1} \right)\)        (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t{\rm{ }}\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0{\rm{ }}\left( {\forall t > 0} \right)\) do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow f\left( {2{{\rm{x}}^2} - x + m} \right) = f\left[ {3\left( {{x^2} + 1} \right)} \right] \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} - x + m = 3\left( {{x^2} + 1} \right)\) (thỏa mãn điều kiện)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x + 3 - m = 0{\rm{ }}\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\).

Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi \(P = ac = 3 - m < 0 \Leftrightarrow m > 3\).

Kết hợp \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2018;2018} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \) có 2015 giá trị của tham số m.