Giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x)=−3x2+6x+1−2m trên −2;3 đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn mệnh đề nào sau đây

Đồ thị hàm số y=g(x)=−3x2+6x+1−2m là parabol có hoành độ đỉnh bằng −ba=1∈−2;3

Do đó

M=max[−2; 3]f(x)=maxg(1);g(−2);g(3)

=max4−2m;−23−2m;−8−2m

=max2m−4;2m+23;2m+8

=max2m−4;2m+23( do 2m−4<2m+8<2m+23∀m∈ℝ)

=max2m−4;2m+23

Suy ra M≥2m−4 và M≥2m+23

Ta có

M≥2m−4+2m+232=2m+23+4−2m2≥(2m+23)+(4−2m)2=272.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2m+23=4−2m(2m+23)(4−2m)≥0⇔m=−194.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 272, đạt được chỉ khi m=−194. Đáp án A.