Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + z - 6 = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{2} = \frac{1} = \frac{{ - 1}}.\] Viết phương trình đường thẳng Δ cắt mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt tại M và N sao cho \[A\left( {3;5;2} \right)\] là trung điểm của cạnh MN.

Lời giải:

Chọn đáp án B

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) mà \(N \in d \Rightarrow N\left( {2t - 2;t + 1;1 - t} \right)\).

Bài ra \(A\left( {3;5;2} \right)\)là trung điểm của cạnh MN

\( \Rightarrow M\left( {6 - 2t + 2;10 - t - 1;4 - 1 + t} \right) \Rightarrow M\left( {8 - 2t;9 - t;t + 3} \right)\)

Mà \(M \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {8 - 2t} \right) - \left( {9 - t} \right) + \left( {t + 3} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow - 2t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow N\left( {2;3; - 1} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta \) qua \(N\left( {2;3; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {NA} = \left( {1;2;3} \right)\)là một VTCP

\( \Rightarrow \Delta :\frac{1} = \frac{2} = \frac{3}\).