Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB=a,ACB^=300 và SA=SB=SD với D là trung điểm BC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 3a4.Tính cos góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC.

Do tam giác ABC vuông tại A có D là trung điểm BC và ACB^=600 nên tam giác ABD đều cạnh a và BC=2a,CA=a3.

Dựng SH⊥ABC với H∈ABC.

⇒H là tâm tam giác đều BAD do SA=SB=SD.

Gọi hình chiếu của H lên AB,AC thứ tự là E,F.

Gọi M là trung điểm đoạn BD.

⇒AM=BA2−BM2=a2−a24=a32.

⇒AH=23AM=a33 và HE=HM=AM3=a36.

Ta có: SH⊥BC,AM⊥BC nên BC⊥SAM.

Kẻ MN⊥SAN∈SA thì MN là đường vuông góc chung của SA và BC hay MN=3a4.

⇒NA=MA2−MN2=a34.

Trong tam giác SAM có MN,SH là hai đường cao nên AH.AM=AN.AS.

⇒AS=AH.AMAN=2a33⇒SH=SA2−AH2=a.

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại A và các trục tọa độ như hình vẽ với tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AC và tia Oz vuông góc với mặt phẳng ABC và có hướng theo HS→. Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng a.

Khi đó: A0;0;0,B1;0;0,C0;3;0.

Do HF=AE=a2,HE=HM=a36 và SH=a nên S12;36;1.

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng SAC là

                                                   n1→=AC→,AS→=3;0;−32.

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng SBC là

                                                   n2→=BC→,SC→=−3;−1;−33.

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC, ta có:

                                                   cosα=cosn1→;n2→=n1→.n2→n1→.n2→=6513.

Chọn đáp án C.