Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4mx + 3m} = x - m\) (với \(m\) là tham số) có nghiệm duy nhất?

Ta có \(\sqrt {2{x^2} - 4mx + 3m} = x - m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge m}\\{2{x^2} - 4mx + 3m = {{\left( {x - m} \right)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge m}\\{f\left( x \right) = {x^2} - 2mx + 3m - {m^2} = 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Để phương trình ban đầu có đúng một nghiệm thì phương trình \((*)\) có đúng một nghiệm \(x \ge m.\)

TH1: Phương trình \((*)\) có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1} < m < {x_2}\)

\( \Leftrightarrow f(m) < 0 \Leftrightarrow 3m - 2{m^2} < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{3}{2}{\rm{. }}\)

TH2: Phương trình (*) có nghiệm kép \({x_0} > m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = 0}\\{{x_0} = m > m}\end{array}} \right.\) (vô lý)

TH3: Phương trình \((*)\) có một nghiệm \({x_1} = m.\) Kiểm tra nghiệm \({x_2}:(*)\) có một nghiệm

\({x_1} = m \Leftrightarrow 3m - 2{m^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

• Với \(m = 0\) thì \((*) \Leftrightarrow x = 0\) (nhận) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa đề bài.

• Với \(m = \frac{3}{2} \Rightarrow {x_1} = \frac{3}{2}\) nên \((*) \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{9}{4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\) (nhận)

Do đó \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn đề bài.

Giá trị của \(m\) cần tìm là: \(0 \le m \le \frac{3}{2} \Rightarrow \) Có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn.

Chọn B.