Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại A. Khoảng cách từ \(A'\) đến các đường thẳng \(AB',\,\,AC',\,\,B'C'\) lần lượt bằng \(1\,;\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

Trong \(\left( {ACA'C'} \right)\) kẻ \(A'K \bot AC' \Rightarrow A'K = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Trong \(\left( {ABA'B'} \right)\) kẻ \(A'H \bot AB' \Rightarrow A'H = 1.\)

Trong \(\left( {A'B'C'} \right)\) kẻ \(A'E \bot B'C' \Rightarrow A'E = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Đặt \(A'B' = a\,;\,\,A'{C^\prime } = b\,;\,\,AA' = c.\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{A'{H^2}}} = 1}\\{\frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{A'{K^2}}} = \frac{4}{3}}\\{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = \frac{1}{{A'{E^2}}} = 2}\end{array}} \right.\).

Cộng theo vế ta có: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{6} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{6}}\\{\frac{1}{{{b^2}}} = \frac{7}{6}}\\{\frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{6}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \sqrt {\frac{6}{5}} }\\{b = \sqrt {\frac{6}{7}} }\\{c = \sqrt 6 }\end{array}} \right.} \right..\)

Vậy thể tích của khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA' \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{{3\sqrt {210} }}.\)

Chọn D.