Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện f⁢(x)=x+2⁢ +x⁢f⁢(3-x2). Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} \).

Phương pháp giải:

- Lấy tích phân từ \( - 1\) đến 2 của hai vế của phương trình đã cho.

- Sử dụng phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

- Sử dụng tính chất không phụ thuộc vào biến của tích phân: ∫abf⁢(x)⁢?x⁢ =∫abf⁢(u)⁢?u.

Giải chi tiết:

Ta có f⁢(x)=x+2⁢⁢ +x⁢f⁢(3-x2)

⇒I=∫-12f⁢(x)⁢?x⁢⁢ =∫-12x+2⁢?x⁢ +∫-12x⁢f⁢(3-x2)⁢?x

\( \Rightarrow I = {I_1} + {I_2}\)

Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\sqrt {x + 2} dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {x + 2} \)\( \Rightarrow {t^2} = x + 2 \Rightarrow 2tdt = dx\).

Đổi cận: {x=-1⇒t=1x=2⇒t=2.

⇒I1=∫12t⁢.2⁢t⁢?t⁢⁢ =2⁢∫12t2⁢?t⁢⁢ =2⁢t33|12=143.

Xét tích phân I2=∫-12x⁢f⁢(3-x2)⁢?x.

Đặt u=3-x2⇒d⁢u=-2⁢x⁢d⁢x⇒x⁢d⁢x= -12⁢d⁢u.

Đổi cận: {x=1⇒u=2x=2⇒u=-1.

⇒I2=∫2-1-12⁢f⁢(u)⁢d⁢u⁢⁢ =12⁢∫-12f⁢(x)⁢?x⁢⁢ =12⁢I

Vậy \(I = \frac{3} + \frac{1}{2}I \Leftrightarrow \frac{1}{2}I = \frac{3} \Leftrightarrow I = \frac{3}\).