Cho hàm số \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \[\left( {x - 1} \right)f'\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{f\left( {\rm{x}} \right)}}\] và \(f\left( 2 \right) = 2.\) Giá trị \(\left| {f\left( {\frac} \right)} \right|\) bằng

Ta có \(\left( {x - 1} \right)f'\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{f\left( {\rm{x}} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( {\rm{x}} \right)}}{{f\left( {\rm{x}} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\).                      

Lấy nguyên hàm hai vế ta có \[\int {\frac{{f'\left( {\rm{x}} \right)}}{{f\left( {\rm{x}} \right)}}dx} = \int {\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \] suy ra \[\ln \left| {f\left( {\rm{x}} \right)} \right| = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac} \right| + C\]

Do \(f(2) = 2\) nên \(\ln 2 = \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} + C \Leftrightarrow C = \frac{{5\ln 2}}{3} = \frac{{\ln 32}}{3}\).

Suy ra \(\ln \left| {f\left( {\rm{x}} \right)} \right| = \frac{1}{3}\left( {\ln \left| {\frac} \right| + \ln 32} \right) = \ln \left( {\sqrt[3]}}} \right)\).

Vậy \(\left| {f\left( {\rm{x}} \right)} \right| = \sqrt[3]}} \cdot \) Ta có \(\left| {f\left( {\frac} \right)} \right| = \frac{1}{2}\). Chọn D.