Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với \[A(1;0;0),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B(3;2;4),{\mkern 1mu} C(0;5;4)\]. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho |M⁢A→⁢⁢ +M⁢B→⁢⁢ +2⁢M⁢C→| nhỏ nhất.

Giải chi tiết:

\(M \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow M(m;n;0)\)

M⁢A→⁢⁢ =(1-m;-n;0)

M⁢B→⁢⁢ =(3-m;2-n;4)

M⁢C→⁢ =(-m;5-n;4)

⇒M⁢A→⁢⁢ +M⁢B→⁢⁢ +2⁢M⁢C→⁢⁢ =(4-4⁢m;12-4⁢n;12)

⇒|M⁢A→⁢ +M⁢B→⁢⁢ +2⁢M⁢C→|=(4-4⁢m)2+(12-4⁢n)2+122⁢ ≥122⁢ =12

⇒|M⁢A→⁢⁢ +M⁢B→⁢⁢ +2⁢M⁢C→| đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi {4-4m=012-4n=0\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{n = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy \(M(1;3;0).\)